Vấn đề xen kẽ đơn giản liên quan đến phân cấp đa thức?

Vì vậy, là viết tắt của các vấn đề trong đó chúng tôi có các nhân chứng có thể kiểm chứng nhỏ đối với các trường hợp và cho các nhân chứng có thể kiểm chứng nhỏ đối với các trường hợp . Cái này hoạt động thế nào$NP$$YES$$coNP$$NO$

1. $P^{NP}$

2. $NP^{NP}$

3. $coNP^{NP}$

4. và như thế?

Có một cách giải thích hợp lý về các cấp khác nhau của hệ thống phân cấp đa thức, giúp mở rộng đặc tính chứng kiến ​​của và .$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

Một ngôn ngữ nằm trong nếu có một biến vị ngữ đa thời gian và đa thức sao cho Đây:$L$$\Sigma_k^P$$f$$\ell$

• $\exists |y| \le \ell(|x|)$ có nghĩa là tồn tại một số$y$ có độ dài nhiều nhất là$\ell(|x|)$ sao cho ...
• $\forall |y| \le \ell(|x|)$ có nghĩa là với tất cả có độ dài tối đa , các mục sau đây giữ ...$y$$\ell(|x|)$
• $Q$ là nếu là số lẻ và nếu chẵn.$\exists$$k$$\forall$$k$

Tương tự, nằm trong nếu nó có thể được viết theo cách tương tự, chỉ bắt đầu bằng .$L$$\Pi_k^P$$\forall$

Ví dụ: là và bao gồm tất cả các ngôn ngữ sao cho Một ví dụ khác, là .$\mathsf{NP}^{\mathsf{NP}}$$\Sigma_2^P$

Ví dụ thứ ba của bạn là , đó là . Tôi không chắc đặc điểm logic là gì.$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$$\Delta_2^P$

Để nói chứa các vấn đề với "nhân chứng có thể kiểm chứng nhỏ" là không chính xác về mặt khái niệm. Các nhân chứng chỉ bị ràng buộc đa thức bởi vì chúng tôi muốn trình xác minh có hiệu quả (nghĩa là chạy trong thời gian đa thức). Trong một bối cảnh như vậy, chỉ có một tiền tố dài đa thức của bất kỳ nhân chứng nào có thể có liên quan, do đó tại sao chúng tôi nhấn mạnh vào các nhân chứng dài đa thức. Ngoài ra, "nhỏ" có khả năng có nghĩa là hằng số hoặc logarit; những cái đó không được sử dụng, tất nhiên, bởi vì chúng có thể bị ép buộc bởi các thuật toán thời gian đa thức (và chỉ cung cấp cho chúng ta các vấn đề trong ).$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Cách khái niệm hệ thống chứng minh của khái quát hóa để mang lại hệ thống phân cấp đa thức rất giống với quan điểm logic mà Yuval Filmus mô tả trong câu trả lời của mình. Hãy để tôi giới thiệu quan điểm ít kỹ thuật đằng sau nó.$\mathsf{NP}$

Chúng tôi xem xét các trò chơi hai bên dựa trên QBF. Một ví dụ (hoặc "bảng" nếu bạn quan tâm để tưởng tượng nó như một trò chơi cờ như cờ vua hoặc cờ đam) của trò chơi đó là một công thức và hai người chơi, nói và , lần lượt chọn các giá trị cho và . Mỗi lựa chọn như vậy tạo thành một động thái . Khi không còn giá trị nào nữa, công thức (nghĩa là vị trí cuối cùng của trò chơi) được đánh giá; thắng nếu đúng và thắng nếu sai.$\varphi(x_1, y_1, \ldots, x_m, y_m)$$A$$B$$x_i$$y_i$ A B$A$$B$

Trò chơi này mô hình các bộ lượng hóa phổ biến và phổ biến theo cách sau: Nếu công thức là QBF thực sự, thì (đóng vai trò của bộ lượng hóa hiện sinh) sẽ luôn có chiến lược chiến thắng và có thể chọn một loạt khiến là đúng bất kể các giá trị được chọn bởi (đóng vai trò của các bộ lượng tử phổ). Các trường hợp "có" là những trường hợp trong đó QBF là đúng, nghĩa là luôn có chiến lược chiến thắng, bất kể chơi như thế nào .$A$$x_1, \ldots, x_m$$\varphi$$y_1, \ldots, y_m$$B$$A$$B$

$\Sigma_i$ và sau đó tương ứng với các trò chơi kéo dài cho di chuyển và trong đó và , tương ứng, được đi trước. Trên thực tế, bạn thậm chí còn nhận được và như một phần thưởng vì nó tương ứng với lớp trò chơi diễn ra với số lần di chuyển tùy ý (mặc dù được xác định trước).$\Pi_i$$i$$A$$B$$\textsf{PSPACE}$$\textsf{PH} \subseteq \textsf{PSPACE}$

Cũng lưu ý rằng và là những trường hợp khá thoái hóa của các trò chơi này vì và , tương ứng, không có cơ hội di chuyển! Ví dụ: đối với các trường hợp "có" của , có thể giành chiến thắng chỉ bằng cách không làm gì cả (vì một trường hợp "có" là một tautology và đúng cho dù chọn gì ).$\Sigma_1 = \mathsf{NP}$$\Pi_1 = \mathsf{coNP}$$B$$A$$\Pi_1 = \mathsf{coNP}$$A$$B$

Ngoài ra còn có một phiên bản tổng quát hơn ở trên dựa trên các trò chơi chung (và không phải là QBF cụ thể). Ví dụ, bạn có thể tìm thấy nó trong phần 5.4 "PSPACE and Games" của "Độ phức tạp tính toán: Quan điểm khái niệm" của Goldreich ( ở đây là một liên kết miễn phí tới phiên bản nháp; xem trang 174 cũng như trang 118. .

$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ là việc đóng trong thời gian đa thức Turing giảm (= Giảm Cook). Do đó, nó được đóng trong phần giảm Cook, do đó chúng ta có . Trên thực tế, đối với bất kỳ lời tiên tri , chúng tôi định nghĩa là việc đóng trong phần giảm Cook và chúng tôi luôn có và . Ngoài ra và$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}=\mathsf{P}^{\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}}$$\mathsf{A}$$\mathsf{P}^{\mathsf{A}}$$\mathsf{A}$$\mathsf{P}^{\mathsf{A}}=\mathsf{P}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$$\mathsf{NP}^{\mathsf{A}}=\mathsf{NP}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$$\mathsf{coNP}^{\mathsf{A}}=\mathsf{coNP}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}=\mathsf{P}^{\mathsf{coNP}}$ . Nhưng giảm Cook cảm thấy hơi không tự nhiên cho các vấn đề quyết định.

Lưu ý rằng là một lớp chức năng ngụy trang và cũng là một lớp chức năng ngụy trang. Chúng ta hãy viết cho lớp các hàm một phần tính toán thời gian đa thức, tức là lớp hàm tương ứng với và cho lớp hàm tương ứng với . Bao gồm các hàm một phần cho phép sử dụng ký hiệu đã thiết lập (được sử dụng trong Phân loại các hàm phức tạp của A. Selman, 1994) để tránh xung đột tên với lớp không liên quan .$\mathsf{P}$$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$$\mathsf{PF}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$$\mathsf{FP}$

Nấu giảm cảm thấy tự nhiên hơn cho các lớp chức năng. Bạn có thể đã gặp phải giảm Cook (và cũng là lớp ) tại điểm mà sách giáo khoa hoặc giáo sư của bạn giải thích tại sao chỉ cần xem xét các vấn đề quyết định. Thông thường, một cái gì đó giống như một thuật toán (từ ) để tính toán phép gán thỏa mãn từ vựng cuối cùng của một thể hiện SAT đã cho được mô tả. Trước tiên, người ta hỏi nhà tiên tri liệu có bất kỳ sự phân công thỏa mãn nào không, và sau đó xác định các giá trị của các biến (nhị phân) bằng cách liên tiếp hỏi nhà tiên tri liệu có một phép gán thỏa mãn trong đó không được đặt thành các giá trị đã được xác định và$\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$$\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$$x_k$$x_1,\dots,x_{k-1}$$x_k$được đặt thành . Nếu có, thì người ta đặt thành , nếu không thì đặt thành . (Lưu ý rằng đây là một phần chức năng, vì chức năng này không được xác định trong trường hợp không có sự phân công thỏa mãn.)$1$$x_k$$1$$x_k$$0$

Hãy để tôi thử nói vài lời về nhận xét của Yuval Filmus:

Ví dụ thứ ba của bạn là , đó là . Tôi không chắc đặc điểm logic là gì.$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$$\Delta_2^P$

Có hai khó khăn cần khắc phục: (1) đặc tính của lớp chức năng có cảm giác khác với đặc tính logic của lớp quyết định và (2) ít nhất là đối với chúng tôi phải mô hình hóa đặc tính xác định của các truy vấn tới oracle .$\mathsf{P}^{\mathsf{A}}$$\mathsf{A}$

Nếu chúng ta xem xét lớp của các hàm một phần tương ứng với lớp của các vấn đề quyết định trước, thì chúng ta có thể bỏ qua (2) trong giây lát: Hàm một phần có trong nếu có hàm đa phần , biến vị ngữ polytime và đa thức sao cho trong đó Đây:$\mathsf{UPF}$$\mathsf{UP}$$pf$$\mathsf{UPF}^{\Sigma_k^P}$$p$$f$$\ell$$pf(x)=p(x,z)$

• $\exists |y| \le \ell(|x|)$ có nghĩa là tồn tại một số có độ dài nhiều nhất là sao cho ...$y$$\ell(|x|)$
• $\forall |y| \le \ell(|x|)$ có nghĩa là với tất cả có độ dài tối đa , các mục sau đây giữ ...$y$$\ell(|x|)$
• $Q$ là nếu là số lẻ và nếu chẵn.$\exists$$k$$\forall$$k$

Người ta có thể cố gắng khắc phục (2) bằng cách giới thiệu các toán tử và. Nhưng nó vẫn sẽ trở nên xấu xí, và người ta có thể tranh luận liệu điều này có thực sự tạo thành một đặc tính logic hay không.$\operatorname{BIT}(z,i):=z[i]$$\operatorname{TRUNC}(z,i):=z\left|_{[1,i)}\right.$