Chuyển đổi một bìa tùy ý thành một đỉnh đỉnh

Cho là một đồ thị phẳng và để biểu thị sự nhúng của nó trong mặt phẳng st mỗi cạnh có độ dài . Ngoài ra, tôi còn có một tập hợp các điểm trong đó mỗi điểm được chứa trong . Hơn nữa, có một điểm trong cho rằng tồn tại một với khoảng cách trắc địa đến nhiều nhất là một. (Khoảng cách được đo là khoảng cách ngắn nhất trong .) $G=(V,E)$ $\mathcal{G}$ $1$ $C$ $c \in C$ $\mathcal{G}$ $p$ $\mathcal{G}$ $c \in C$ $p$ $\mathcal{G}$

Tôi muốn lập luận rằng với một mà điều kiện trên giữ được, tôi có thể dễ dàng chuyển đổi nó thành một đỉnh đỉnh hoặc đặt khác đi, biến nó thành một có cùng số lượng với bất kỳ được đặt trong tại một đỉnh của , và vẫn bao gồm . $C$ $C'$ $c \in C'$ $\mathcal{G}$ $G$ $C'$ $G$

Cách tiếp cận của tôi là định hướng các cạnh và di chuyển các điểm trong $C$ ở đỉnh cuối của cung. Nhưng cho đến nay tôi đã không tìm thấy một định hướng đúng trong đó sản lượng $C'$ từ $C$ .

Có ai có ý kiến nào không nhỉ?

algorithms graph-theory set-cover

— người dùng695652
nguồn

Tôi không hiểu lắm vấn đề. " in " nghĩa là gì? Làm thế nào chính xác để bạn đo khoảng cách? Nếu bạn có nghĩa là luôn luôn là trên một cạnh, sau đó có vẻ như là nếu bạn đặt nó ở hai đầu, sau đó tất cả các điểm ở khoảng cách tối đa là từ nó - cụ thể là cả hai thiết bị đầu cuối - vẫn còn ở khoảng cách tối đa là từ nó. Đối với bất kỳ định hướng.

p

$p$

G

$\mathcal{G}$

p

$p$

1

$1$

1

$1$

— Yuval Filmus

@Yuval Filmus là một jordan arc vẽ của , tức là một tập hợp con của . chỉ có nghĩa là điểm phải được chứa trong bản vẽ và không chỉ ở bất kỳ đâu trong mặt phẳng. Khoảng cách được đo bằng khoảng cách trắc địa trong , tức là đường đi ngắn nhất nối hai điểm trong bản vẽ. Đối với nhận xét cuối cùng của bạn, hãy thực hiện một chu kỳ 4 và đặt hai điểm ở giữa cạnh thứ nhất và thứ ba. Điều này bao gồm toàn bộ biểu đồ, nhưng nếu bây giờ bạn di chuyển một điểm tại điểm cuối theo chiều kim đồng hồ của nó và một điểm tại điểm cuối theo chiều ngược chiều kim đồng hồ thì nó sẽ che đi

G

$\mathcal{G}$

G

$G$

\mathhbb R^{2}

$\mathhbb{R}^2$

p \in G

$p \in \mathcal{G}$

G

$\mathcal{G}$

— user695652

Nếu không có điểm trong nằm chính xác trên điểm giữa của một cạnh trong , sau đó nó cũng đủ để kết hợp mỗi điểm trong đến đỉnh gần nhất trong . Tôi sẽ để nó như một bài tập cho người đọc để chứng minh điều này (gợi ý: chứng minh bằng mâu thuẫn). $C$ $\mathcal{G}$ $C$ $\mathcal{G}$

Mặt khác, nếu các điểm trong được phép nằm trên điểm giữa của các cạnh, thì chúng ta có thể cung cấp một ví dụ ngược lại: $C$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Các đường màu xanh và hình tròn là và chữ thập đỏ là . $\mathcal{G}$ $C$

EDITED TO ADD: Một ví dụ với biểu đồ hai mặt

nhập mô tả hình ảnh ở đây

— mẹ ơi
nguồn

Cảm ơn rất nhiều cho các ví dụ. Bạn có đồng ý rằng nếu chúng tôi giới hạn các biểu đồ được chia đôi, thì yêu cầu đó là đúng, ngay cả khi tất cả các điểm nằm ở giữa không?

— dùng695652

Tôi không nghĩ rằng kết nối hai chiều sẽ cứu bạn. Tôi đã chỉnh sửa câu trả lời của mình bằng một ví dụ mới.

— mhum

Đây là một câu hỏi khá khác nhau. Nó có thể có ý nghĩa để gửi nó một cách riêng biệt.

— mhum

@mhum Bạn đã làm hình ảnh đồ thị như thế nào? Có tồn tại một số chương trình để đó?

— Tacet

@Tacet Tôi không nhớ chính xác tôi đã làm những việc này như thế nào. Tôi nghĩ rằng cái đầu tiên có thể là MS Paint hoặc GIMP. Cái thứ hai có thể là GIMP hoặc Geogebra.

— mhum