Tiệm cận của số lượng từ trong một ngôn ngữ thông thường có độ dài nhất định

Đối với ngôn ngữ thông thường , hãy đặt là số lượng từ trong có độ dài . Sử dụng dạng chính tắc Jordan (áp dụng cho ma trận chuyển tiếp không được quản lý của một số DFA cho ), người ta có thể chỉ ra rằng với , Trong đó là đa thức phức tạp và là "giá trị riêng" phức tạp. (Đối với nhỏ , chúng tôi có thể có các điều khoản bổ sung có dạng , trong đó là nếu vàc n ( L ) L n L n c n ( L ) = k ∑ i = 1 P i ( n ) λ n i , P i λ i n C k [ n = k ] [ n = k ] 1 n = k 0 k + 1 $L$$c_n(L)$$L$$n$$L$$n$

$$c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n,$$ $P_i$$\lambda_i$$n$$C_k[n=k]$$[n=k]$$1$$n=k$$0$nếu không thì. Chúng tương ứng với các khối Jordan có kích thước tối thiểu với giá trị riêng )$k+1$$0$

Đại diện này dường như ngụ ý rằng nếu là vô hạn thì không có , đối với một số . Tuy nhiên, điều này hoàn toàn sai: đối với ngôn ngữ trên của tất cả các từ có độ dài chẵn, nhưng . Điều này cho thấy rằng đối với một số và cho tất cả , thì cho đủ hoặc . Điều này đã được chứng minh trong Flajolet & Sedgewickc n ( L ) ~ C n k λ n C , λ > 0 L { 0 , 1 } c 2 n ( L ) = 2 2 n c 2 n + 1 ( L ) = 0 d một ∈ { 0 , ... , d - 1 } c d m + a$L$$c_n(L) \sim C n^k \lambda^n$$C,\lambda>0$$L$$\{0,1\}$$c_{2n}(L) = 2^{2n}$$c_{2n+1}(L) = 0$$d$$a \in \{0,\ldots,d-1\}$m c d m + a ∼ C a ( d m + a ) k a λ d m + a$c_{dm+a}(L) = 0$$m$$c_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a}$ (Định lý V.3), người gán bằng chứng cho Berstel.

Bằng chứng được cung cấp bởi Flajolet và Sedgewick có phần kỹ thuật; Vì vậy, kỹ thuật, trên thực tế, họ chỉ phác họa nó. Tôi đã thử một bằng chứng cơ bản hơn bằng lý thuyết Perron-Frobenius. Chúng ta có thể coi biểu đồ chuyển tiếp của DFA là một sơ đồ. Nếu sơ đồ nguyên thủy thì kết quả gần như trực tiếp từ định lý Perron-Frobenius. Nếu sơ đồ là không thể sửa chữa nhưng không chính xác với chỉ số , thì bằng cách xem xét " sức mạnh thứ " của DFA (mỗi chuyển đổi tương ứng với các ký hiệu ), chúng ta sẽ nhận được kết quả tương tự. Các trường hợp khó khăn là khi các sơ đồ có thể giảm. Chúng ta có thể giảm đến trường hợp đường dẫn của các thành phần được kết nối mạnh, và sau đó chúng ta nhận được kết quả bằng cách ước tính tổng của biểu mẫu r r ∑ m 1 + ⋯ + m k = m k ∏ i = 1 λ m i i$r$$r$$r$

$$\sum_{m_1+\cdots+m_k=m} \prod_{i=1}^k \lambda_i^{m_i}.$$ (Mỗi tương ứng với số tiền đó cho một cách đặc biệt của việc chấp nhận một lời, đi qua các thành phần khác nhau trong một cách nào đó.) Số tiền này, đến lượt nó, có thể được ước tính bằng cách định rõ các hạn lớn nhất, mà tương ứng với . Đối với mỗi giá trị riêng được lặp lại lần, chúng ta có thêm một yếu tố . r Θ ( m r - 1$m_i \propto \log \lambda_i$$r$$\Theta(m^{r-1})$

Bằng chứng có các cạnh thô: trong trường hợp có thể rút gọn, chúng ta cần chuyển từ các thuật ngữ tiệm cận sang sang tổng đã đề cập ở trên, và sau đó chúng ta cần ước tính tổng.$C \lambda_i^m$

Bằng chứng của Flajolet và Sedgewick có lẽ đơn giản hơn, nhưng ít sơ đẳng hơn. Điểm bắt đầu của nó là hàm tạo hợp lý của và nó liên quan đến cảm ứng về số lượng cường độ cực (!). Ý tưởng cơ bản là tất cả các giá trị riêng của mô đun cực đại là gốc của sự thống nhất (nếu được chuẩn hóa bởi mô đun của chúng), do một định lý (dễ vừa phải) của Berstel. Chọn một thích hợp và nhìn vào các từ có độ dài , tất cả các giá trị riêng này đều trở thành hiện thực. Xem xét việc mở rộng một phần, chúng ta nhận thấy rằng nếu giá trị riêng của mô đun cực đại "sống sót", thì nó xác định sự không triệu chứng, có dạngd d m + a C n k λ $c_n(L)$$d$$dm+a$$Cn^k\lambda^n$. Mặt khác, chúng tôi tìm thấy một hàm tạo hợp lý mới chỉ tương ứng với các từ có độ dài này (sử dụng sản phẩm Hadamard) và lặp lại đối số. Số lượng nói trên tiếp tục giảm, và vì vậy cuối cùng chúng tôi tìm thấy sự không triệu chứng mong muốn; có thể phải phát triển trong quá trình, để phản ánh mọi thứ xảy ra trong các bước quy nạp.$d$

Có bằng chứng đơn giản và cơ bản cho thuộc tính tiệm cận của không?$c_n(L)$

Đối số mà bạn đã phác thảo dường như phù hợp với cách xử lý của Phương pháp ma trận chuyển nhượng của Richard Stanley trong Kết hợp toàn diện, Tập 1 (liên kết: Trang 573; in: Trang 500).

Anh ta bắt đầu với chức năng tạo và giải nén nó bằng cách xem xét các sơ đồ và các yếu tố được phép và bị cấm. Sau đó, anh ta trừu tượng hóa các đơn sắc miễn phí, nơi anh ta sử dụng một phiên bản tinh chỉnh của các khoản tiền bạn đã đưa ra để chứng minh:

4.7.11 Dự Hãy là một tập hợp con của rằng tự do tạo ra . Sau đóMột * B B * ( λ ) = ( I - B ( λ ) ) - $B$$A^*$$B$$B^*(\lambda)=(I-B(\lambda))^{-1}$

Sau khi làm việc thông qua một số ứng dụng, anh ta cũng đóng phần đó bằng cách thảo luận về các sản phẩm Hadamard liên quan đến các đa giác lồi theo chiều ngang.