Một vấn đề tối ưu hóa liên tục làm giảm TSP

Giả sử tôi được cung cấp một tập hợp hữu hạn các điểm trong mặt phẳng và được yêu cầu vẽ đường cong hai lần khác nhau thông qua các , sao cho chu vi của nó càng nhỏ càng tốt. Giả sử và , tôi có thể chính thức hóa vấn đề này như sau: C ( P ) p i p i = ( x i , y i ) x i < x i + $p_1,p_2,..p_n$$C(P)$$p_i$$p_i=(x_i,y_i)$$x_i<x_{i+1}$

Vấn đề 1 (được chỉnh sửa để phản hồi ý kiến ​​của Suresh) Xác định hàm của tham số sao cho arclength được thu nhỏ, với và với mọi , chúng ta có . x ( t ) , y ( t ) t L = ∫ [ t ∈ 0 , 1 ] $C^2$$x(t),y(t)$$t$x(0)=x1,x(1)=xnti:x(ti)=xiy(ti)=yi$L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$$x(0) = x_1, x(1) = x_n$$t_i: x(t_i) = x_i$$y(t_i)=y_i)$

Làm cách nào để chứng minh (hoặc có thể bác bỏ) rằng Vấn đề 1 là NP-hard?

Tại sao tôi nghi ngờ độ cứng NP Giả sử giả định được nới lỏng. Rõ ràng, chức năng của arclength tối thiểu là chuyến tham quan của Sales Salesman của 's. Có lẽ ràng buộc chỉ làm cho vấn đề khó khăn hơn nhiều?p i C $C^2$$p_i$$C^2$

Bối cảnh Một biến thể của vấn đề này đã được đăng trên MSE . Nó không nhận được câu trả lời cả ở đó và trên MO . Cho rằng việc giải quyết vấn đề là không cần thiết, tôi muốn thiết lập mức độ khó của nó.

Yêu cầu về tính khác biệt không làm thay đổi bản chất của vấn đề: yêu cầu (tính liên tục) hoặc (độ khác biệt vô hạn) cho cùng một giới hạn thấp hơn cho cùng độ dài và giống nhau thứ tự các điểm, và tương đương với việc giải quyết vấn đề nhân viên bán hàng du lịch.$\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^{\infty}$

Nếu bạn có giải pháp cho TSP, bạn có đường cong đi qua tất cả các điểm. Ngược lại, giả sử bạn có một đường cong có độ dài hữu hạn đi qua tất cả các điểm và để là thứ tự trong mà nó đi qua các điểm và các tham số tương ứng (nếu đường cong đi qua một điểm nhiều lần, hãy chọn bất kỳ giá trị nào có thể có của ). Sau đó, đường cong được xây dựng từ phân đoạn$\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^0$$p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$$t_1,\ldots,t_n$$t$$n$$[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$ngắn hơn, vì đối với mỗi đoạn, một đường thẳng ngắn hơn bất kỳ đường cong nào khác nối điểm. Do đó, đối với mỗi thứ tự của các điểm, đường cong tốt nhất là giải pháp TSP và giải pháp TSP cung cấp thứ tự tốt nhất cho các điểm.

Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra rằng yêu cầu đường cong phải là (hoặc với mọi ) sẽ không thay đổi thứ tự điểm tốt nhất. Đối với mọi giải pháp TSP có tổng độ dài và bất kỳ , chúng ta có thể làm tròn mọi góc, tức là xây dựng một đường cong đi qua các điểm theo cùng một thứ tự và có độ dài tại most (cấu trúc rõ ràng dựa trên các hàm đại số và để xác định các hàm va chạm và từ các kết nối trơn tru giữa các đoạn đường cong như kết nối với$\mathcal{C}^{\infty}$$\mathcal{C}^k$$k$$\ell$$\epsilon > 0$$\mathcal{C}^{\infty}$$\ell + \epsilon$$e^{-1/t^2}$$e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$$y=0$ tại và với tại ; thật tẻ nhạt khi làm những điều này rõ ràng, nhưng chúng có thể tính toán được); do đó, giới hạn dưới của đường cong giống như đối với một tập hợp các phân đoạn (lưu ý rằng nói chung không đạt được giới hạn dưới).$x=0$$y=x$$x=1$$\mathcal{C}^{\infty}$