Vấn đề sỏi

Sỏi là một trò chơi solitaire được chơi trên đồ thị vô hướng , trong đó mỗi đỉnh có 0 hoặc nhiều viên sỏi. Một động tác cuội đơn bao gồm loại bỏ hai viên sỏi từ một đỉnh và thêm một viên sỏi vào một hàng xóm tùy ý của . (Rõ ràng, đỉnh v phải có ít nhất hai sỏi trước khi di chuyển.) Vấn đề PebbleDestruction hỏi, đưa ra một đồ thị và một số sỏi cho mỗi đỉnh , cho dù có là một chuỗi di chuyển sỏi mà loại bỏ tất cả trừ một viên sỏi. Chứng minh rằng PebbleDestrraction là NP-Complete. $G$ $v$ $v$ $G = ( V; E )$ $p ( v )$ $v$

Đầu tiên, tôi cho thấy rằng nó nằm trong NP vì tôi có thể xác minh giải pháp trong thời gian đa thức, truy tìm lại số lượng viên sỏi chỉ từ một viên sỏi.

Tiếp theo, một số ý tưởng về vấn đề nào sẽ được sử dụng làm cơ sở cho việc giảm thời gian đa thức?

Một cái gì đó như bìa đỉnh làm việc? Hoặc một bìa đỉnh có kích thước khác nhau?

Nếu vậy, làm thế nào nó có thể xử lý số lượng sỏi khác nhau trên mỗi lần di chuyển?

Cảm ơn bạn.

Từ: http://cifts.engr.illinois.edu/cs473/sp2011/hw/disc/disc_14.pdf

algorithms graph-theory np-complete

— TT
nguồn

Có đơn giản để chỉ ra rằng vấn đề là ở NP? Số lượng di chuyển có thể theo cấp số nhân trên kích thước đầu vào không?

— Vinicius dos Santos

@ViniciusSantos, số lần di chuyển không thể lớn hơn số lượng viên sỏi (cũng là một phần của đầu vào).

Nhưng chúng ta có thể giả định rằng số lượng sỏi là nhị phân, phải không? Trong trường hợp này, kích thước của đầu vào là logarit trên số lượng viên sỏi. Tôi vẫn nghĩ rằng có một chứng chỉ ngắn cho vấn đề này, nhưng theo tôi hiểu, danh sách các động thái không phải là một.

— Vinicius dos Santos

@ViniciusdosSantos, Có thể bạn không nhận thấy rằng toàn bộ biểu đồ là đầu vào, mặt khác, số viên sỏi cho mỗi đỉnh (p (v)) phải được giới hạn bởi kích thước của biểu đồ, nếu không thì kiểm tra xem một chuỗi di chuyển có phải là hợp lệ hoặc không cần theo cấp số nhân. Và tôi nghĩ là chính xác khi giả sử số lượng sỏi trên mỗi đỉnh nhiều nhất là n.

Tôi đồng ý rằng nếu số lượng viên sỏi trên mỗi đỉnh bị giới hạn đa thức bởi kích thước của đồ thị so với số lượng nhỏ trong NP. Nhưng tôi nghĩ giả định này là không cần thiết, mặc dù không có nó, bằng chứng trở nên khó khăn hơn.

— Vinicius dos Santos

$G$ $v$ $p(v) = 2$ $G \space iff \space G$ $G$ $v$ $u$ $u$ $G$ $u$ $u$ $u$ $p(u) = 1$ $u=v$ $v$