Ngôn ngữ thông thường

Trong lớp của tôi, một sinh viên hỏi liệu tất cả các automata hữu hạn có thể được vẽ mà không vượt qua các cạnh (có vẻ như tất cả các ví dụ của tôi đã làm). Tất nhiên câu trả lời là phủ định, máy tự động rõ ràng cho ngôn ngữ có cấu trúc của , đồ thị hoàn chỉnh trên năm nút . Yuval đã cho thấy một cấu trúc tương tự cho một ngôn ngữ liên quan.$\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}$$K_5$

Câu hỏi của tôi là như sau: làm thế nào để chúng tôi chỉ ra rằng mọi máy tự động trạng thái hữu hạn cho ngôn ngữ này là không phẳng? Với đặc tính giống Myhill-Nerode, có lẽ có thể xác định rằng cấu trúc của ngôn ngữ có trong sơ đồ, nhưng làm thế nào để chúng ta thực hiện chính xác điều này?

Và nếu điều đó có thể được thực hiện, liệu có một đặc tính của "ngôn ngữ thông thường phẳng"?

Không phải sự thật là mọi DFA cho ngôn ngữ này đều không phải là phẳng:

Đây là một ngôn ngữ thực sự không phải là phẳng: Lấy bất kỳ FSA phẳng cho ngôn ngữ này. Nếu chúng ta loại bỏ tất cả các trạng thái không thể truy cập, chúng ta vẫn nhận được một biểu đồ phẳng. Mỗi trạng thái có thể tiếp cận có sáu cạnh đi riêng biệt , điều này mâu thuẫn với thực tế đã biết rằng mọi đồ thị phẳng đều có một đỉnh bằng nhiều nhất là năm.

Khái niệm này đã được nghiên cứu trước đây. (Một khi bạn biết câu trả lời, google cho nó ...)

Đầu tiên là tác phẩm cũ của Book và Chandra, với bản tóm tắt sau.

Tóm lược. Nó được chỉ ra rằng đối với mọi máy tự động trạng thái hữu hạn đều tồn tại một máy tự động không điều kiện tương đương với đồ thị trạng thái phẳng. Tuy nhiên, tồn tại automata trạng thái hữu hạn không có tự động xác định tương đương với đồ thị trạng thái phẳng.

Ví dụ và lập luận đưa ra chính xác là câu trả lời của Yuval trong câu trả lời của anh ấy!

Hơn nữa, họ cũng xem xét bảng chữ cái nhị phân.

Có một máy tự động xác định phi trạng thái 35 trạng thái trên bảng chữ cái 2 chữ cái.

Công việc này được tiếp tục gần đây bởi Bonfante và Deloup. Họ xem xét các nhúng nhúng topo. Một cách không chính thức các chi của đồ thị là số lượng lỗ phải được thêm vào để nhúng biểu đồ một bề mặt mà không vượt qua các cạnh. Đồ thị có chi bằng 0 là phẳng. Sau đó, chi của một ngôn ngữ là chi tối thiểu của automata cho ngôn ngữ.

Định lý 9 (Phân cấp dựa trên chi). Có ngôn ngữ thường xuyên của chi lớn tùy ý.

Trong phần "automata tối thiểu trạng thái so với automata tối thiểu chi" người ta tìm thấy kết quả, bằng chứng đó là ví dụ đầu tiên được đưa ra bởi Yuval (mười trạng thái để tạo ra mặt phẳng ngôn ngữ K5 năm trạng thái).

Mệnh đề 7. Có automata xác định với một chi thấp hơn hoàn toàn so với chi tự động tối thiểu tương ứng của chúng.

G.Bonfante, F.Deloup: Chi của ngôn ngữ thông thường, Cấu trúc toán học trong Khoa học máy tính, 2018. doi 10.1017 / S0960129516000037 . Ngoài ra ArXiv 1301,4981 (2013)

RV Book, AK Chandra, Không có kế hoạch tự động, Acta informationatica 6 (1976) doi 10.1007 / BF00263745