Có phải tất cả các vấn đề lập trình tuyến tính Integer NP-Hard?

Theo tôi hiểu, bài toán gán là trong P vì thuật toán Hungary có thể giải nó trong thời gian đa thức - O (n ³ ). Tôi cũng hiểu rằng vấn đề gán là một vấn đề lập trình tuyến tính số nguyên , nhưng trang Wikipedia nói rằng đây là NP-Hard. Đối với tôi, điều này hàm ý vấn đề chuyển nhượng là trong NP-Hard.

Nhưng chắc chắn vấn đề chuyển nhượng không thể có ở cả P ​​và NP-Hard, nếu không P sẽ bằng NP? Có phải trang Wikipedia chỉ đơn giản có nghĩa là thuật toán chung để giải quyết tất cả các vấn đề ILP là NP-Hard? Một vài nguồn khác nói rằng ILP là NP-Hard nên điều này thực sự gây nhầm lẫn cho sự hiểu biết của tôi về các lớp phức tạp nói chung.

Nếu một vấn đề là NP-Hard, điều đó có nghĩa là tồn tại một lớp các trường hợp của vấn đề đó là NP-Hard. Hoàn toàn có thể cho các lớp cá thể cụ thể khác có thể giải được trong thời gian đa thức.

Ví dụ, xem xét vấn đề tìm 3 màu của đồ thị . Đây là một vấn đề NP-Hard nổi tiếng. Bây giờ hãy tưởng tượng rằng các thể hiện của nó bị giới hạn trong các biểu đồ, ví dụ như cây. Rõ ràng bạn có thể dễ dàng tìm thấy 3 màu của cây trong thời gian đa thức (thực sự bạn cũng có thể tìm thấy 2 màu).

Xem xét các vấn đề quyết định trong một giây. Một phương pháp chứng minh độ cứng của bài toán quyết định đang nghĩ ra cách giảm đa thức (Karp) từ một bài toán khác được gọi là NP-Hard. Trong giảm này, bạn thấy rằng có tồn tại một hàm mà các bản đồ mỗi trường hợp của vấn đề để một thể hiện của vấn đề sao cho: là một ví dụ có cho là một ví dụ có cho . Điều này ngụ ý rằng việc giải phải "ít nhất là khó" như tự giải .Q f q Q P q $P$$Q$$f$$q$$Q$$P$$q$P f ( q ) $Q \iff f(q)$$P$$f(q)$$q$

Thông báo như thế nào nó không cần thiết cho việc hình ảnh của là tương đương với các thiết lập của các trường hợp của . Do đó, nó hoàn toàn có khả năng cho vấn đề bị giới hạn trong một số tập hợp con của trường hợp không khó.P $f$$P$$P$

Để trở về câu hỏi ban đầu của bạn:

• Bài toán gán có thể được giải trong thời gian đa thức, nghĩa là, một giải pháp cho từng trường hợp của bài toán gán có thể được tính trong thời gian đa thức.
• ILP là NP-Hard: nói chung có thể khó tính toán một giải pháp cho vấn đề ILP, tức là có những trường hợp ILP khó.
• Một số trường hợp cụ thể của ILP có thể được giải quyết trong thời gian đa thức.

Không, trường hợp đặc biệt có thể dễ dàng hơn.

Ví dụ, hãy xem xét IP này với cho :$a_i \geq 0$$i \in [1..n]$

$\qquad\displaystyle \min \sum_{i=1}^n x_ia_i$

st và cho .$\quad\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \geq 1$
$\ \displaystyle x_i \in \mathbb{N}$$i \in [1..n]$

Nó tìm thấy mức tối thiểu trong số (trong đó, chắc chắn, trong một giải pháp tối ưu). Tìm minium của số rõ ràng là một vấn đề đa thức.$a_1, \dots, a_n$$x_i=1$$n$

Bạn có thể mô hình hóa một vấn đề có thể giải quyết đa thức dưới dạng IP. Điều này không có nghĩa là vấn đề là NP-hard. Nó đơn giản có nghĩa là không có thuật toán đa thức đã biết để giải quyết mô hình IP của vấn đề của bạn (trừ khi P = NP).

Vì vậy, như bạn đã đề xuất, vấn đề gán là trong P nhưng mô hình IP của bạn là NP-hard.

Không, có một loại chương trình số nguyên đặc biệt, nếu ma trận ràng buộc là TUM (ma trận hoàn toàn không biến dạng), thì nó có thể được đưa vào chương trình tuyến tính, có thể được giải trong thời gian đa thức.

Vấn đề chuyển nhượng không phải là ILP, mà là vấn đề LP và do đó không phải là NP-hard.