Làm thế nào để thực tế xây dựng đồ thị giãn nở thường xuyên?

Tôi cần xây dựng đồ thị giãn nở d-thường cho một số d nhỏ cố định (như 3 hoặc 4) của n đỉnh.

Phương pháp dễ nhất để làm điều này trong thực tế là gì? Xây dựng một đồ thị d-thường ngẫu nhiên, được chứng minh là một mở rộng?

Tôi cũng đọc về các công trình Margulis và đồ thị Ramanujan là các bộ mở rộng và một công trình sử dụng sản phẩm zig-zag. Wikipedia cung cấp một cái nhìn tổng quan đẹp nhưng rất ngắn: http://en.wikipedia.org/wiki/Expander_graph#cite_note-10 Nhưng tôi chọn phương pháp nào trong thực tế?

Đối với tôi, những phương pháp này dường như rất phức tạp để thực hiện và đặc biệt để hiểu và có thể khá cụ thể. Không có phương pháp nào dễ dàng hơn, có thể dựa trên hoán vị hoặc hơn thế, để thực tế tạo ra một chuỗi các biểu đồ giãn nở d-thường?

Có thể dễ dàng hơn để xây dựng đồ thị giãn nở lưỡng cực d-thường xuyên?

Tôi cũng có một câu hỏi khác: Thế còn những gia đình của những người mở rộng d-thường xuyên thì sao? Liệu một khái niệm như vậy có ý nghĩa? Người ta có thể xây dựng một họ đồ thị d-thường (tất nhiên được kết nối) tệ nhất có thể theo nghĩa của một bộ mở rộng không?

Cảm ơn trước.

— người dùng2145167
nguồn

Có các cấu trúc rõ ràng dễ dàng hơn các cấu trúc bạn đã liệt kê, nhưng các biểu đồ ngẫu nhiên nên thực hiện thủ thuật và có các tham số tốt hơn.

— Yuval Filmus

Bạn có thể cho biết tên hoặc tài liệu tham khảo của các công trình xây dựng? Theo thông số tốt hơn, bạn có nghĩa là một mở rộng (cạnh) tốt hơn, tôi đoán?

— dùng2145167

András đã đưa ra ví dụ mà tôi có trong đầu, nhưng nói chung, các biểu đồ ngẫu nhiên (hầu như luôn luôn) tốt hơn so với các công trình rõ ràng. Không chỉ mở rộng cạnh lớn hơn, bất kỳ thuộc tính tương tự nào khác hữu ích cho thuật toán của bạn có thể tự động được thỏa mãn bởi các biểu đồ ngẫu nhiên.

— Yuval Filmus

Ok, đối với độ 3, ví dụ András hoặc các biểu đồ ngẫu nhiên dường như đủ tốt cho ứng dụng của tôi. Sẽ rất thú vị, đặc biệt là liên quan đến các biểu đồ ngẫu nhiên, để xây dựng một họ đồ thị 3 reg không phải là một thiết bị mở rộng. Nhưng điều này có lẽ rất khó khăn hoặc không thể?

— dùng2145167

Lấy một liên minh của

s. Nếu bạn muốn một biểu đồ được kết nối, hãy xóa một cạnh khỏi mỗi

(tạo thành một biểu đồ được gọi là biểu đồ kim cương) và kết nối chúng theo một chu kỳ.

K_{4}

$K_4$

K_{4}

$K_4$

— Yuval Filmus

Câu trả lời:

Nếu bạn không quan tâm đến các biểu đồ với các vòng lặp tự, thì gia đình mở rộng "dễ nhất" có lẽ là cái này, cung cấp các bộ mở rộng là 3 thường xuyên.

Bắt đầu với một số số nguyên tố và xây dựng các đỉnh được đánh số từ đến . Đối với mỗi đỉnh , kết nối để và , modulo . Ngoài ra kết nối đến đỉnh độc đáo mà $p$ $0$ $p-1$ $u \ne 0$ $u$ $u-1$ $u+1$ $p$ $u$ $v$ . $uv \equiv 1 \mod p$

Ví dụ, đồ thị 7 đỉnh trong họ là 7 chu kỳ với các đỉnh được đánh số tuần tự xung quanh chu kỳ; có các vòng lặp tự động trên , và ; cuối cùng, có các hợp âm nối và , và và . $6$ $0$ $1$ $3$ $5$ $2$ $4$

Xem /mathpro/124708/an-Exander-graph để biết thêm thảo luận và tham khảo. Có rất nhiều gợi ý chi tiết hơn bằng cách tìm kiếm trên "expander" tại CSTheory , Math.SE và MO .

Như Yuval Filmus chỉ ra, việc xây dựng ngẫu nhiên có thể mang lại kết quả tốt hơn nói chung, nhưng tất nhiên có thể không mang lại sự giãn nở (đặc biệt đối với các biểu đồ nhỏ).

— Salamás Salamon
nguồn

Cảm ơn đã nhận xét. Tôi đã tìm kiếm các trình mở rộng trước đây trên các trang web khác nhưng không phải trên MO, dường như thực sự có nhiều kết quả hơn.

— dùng2145167

Đưa ra một biểu đồ thông thường ngẫu nhiên là một expp whp (theo tham chiếu được đưa ra trong tài liệu về mã MATLAB được liên kết bên dưới), tôi đã từng sử dụng như sau:

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29786-random-THER-generator/content/randRegGraph/createRandRegGraph.m

— Hoda
nguồn