Độ dài của chuỗi đồng nguyên tố nhỏ nhất giữa hai số nguyên bất kỳ

Hãy xem xét các tuyên bố sau:

đối với mọi , một trong các cách giữ sau: $a < b \in \mathbb{N}$

1. $\gcd(a,b) = 1$ .
2. có $a < x < b$ sao cho $\gcd(a,x) = \gcd(x,b) = 1$ .
3. có $a < x < y < b$ sao cho $\gcd(a,x) = \gcd(x,y) = \gcd(y,b) = 1$ .

Câu nói này có đúng không?

Động lực:

Tôi tìm thấy một biến thể của vấn đề này trong một trong những cuộc thi thuật toán gần đây.

Hãy xem xét vấn đề sau:

Đầu vào: hai số nguyên $a$ và $b$ trong đó $a \lt b$ .

Đầu ra: số l nhỏ nhất $l$sao cho có các số nguyên $a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_l < x_{l+1} = b$ sao cho tất cả các số nguyên liên tiếp trong danh sách là đồng nguyên tố: $\gcd(x_i, x_{i+1}) = 1$ với $i=0,\ldots, l$ .

Ví dụ:

1. $a = 7, b = 13$ : $\gcd(a,b) = 1$ , do đó $l = 0$ .

2. $a = 10, b = 12$ : $\gcd(a,b) = 2 \neq 1$ , do đó $l \geq 1$ . Đặt chuỗi là $10, 11, 12$ . $\gcd(10, 11) = 1, \gcd(11, 12) = 1$ .

3. $a = 2184, b = 2200$ : Không có sao cho . Tuy nhiên, chúng ta có thể tìm thấy số nguyên thỏa mãn vấn đề này.$a< x < b$$\gcd(a,x)=\gcd(x,b)=1$$2$

Có một thuật toán tham chiếu mà các thuật toán được đánh giá dựa trên. Thuật toán đó giả định rằng

1. Luôn luôn có một thỏa mãn điều kiện.$l$

2. $l\leq 2$ .

Tôi không thấy lý do tại sao chúng là sự thật.

Tôi có một thuật toán thời gian đa thức mà không giả sử một trong hai. Tôi không thua về hiệu suất tiệm cận so với thuật toán tham chiếu, nhưng tôi có thể nhận được hằng số hiệu suất thấp hơn nhiều nếu tôi có thể hiểu và chứng minh tính hợp lệ của các giả định.

Phỏng đoán dường như đang mở. Nó được nêu là Phỏng đoán 3 trong một bài báo của Dowe . Dowe cho thấy phỏng đoán của Goldbach ngụ ý rằng , và đề cập rằng Alan Woods đã cho thấy trong luận án tiến sĩ của mình rằng bị ràng buộc. Có lẽ bằng chứng gần đây về phỏng đoán Goldbach kỳ lạ cũng ngụ ý một ràng buộc xác định và nhỏ.$\ell \leq 2$$\ell \leq 3$$\ell$

Nếu thì là số Erdős-Woods. Cụ thể, nếu thì cả và phải là số Erdős-Woods. A059756 liệt kê một vài số Erdős-Woods đầu tiên. Mặc dù tất cả các số trong danh sách đó là số chẵn, nhưng cũng có những số Erdős-Woods lẻ, một số được liệt kê trong A111042 . Các giá trị nhỏ nhất của tương ứng với sự khác biệt nhất định được liệt kê trong A059757 . Mặc dù danh sách này không tăng, nhưng dường như con số đang tăng khá nhanh. Bất kỳ ví dụ nào về sẽ giống như cả và$\ell > 1$$b-a$$\ell > 2$$b-a$$b-a-1$$a$$\ell \leq 2$$b-a$$b-a-1$là các số Erdős-Woods và đặc biệt là (mỗi A059756). Điều này cho thấy (nhưng không chứng minh) rằng bất kỳ mẫu phản ứng nào như vậy sẽ rất lớn và vì vậy đối với tất cả các mục đích thực tế, chúng tôi có thể giả định rằng .$b-a > 430$$\ell \leq 2$