NP hoàn thành các vấn đề có thể giải quyết được trong thời gian đa thức nếu đầu vào (ví dụ số lượng biến) được cố định?

Tôi đã thấy một số vấn đề là NP-hard nhưng có thể giải quyết đa thức theo chiều cố định.

Tôi nghĩ, ví dụ, Knapsack là thời gian đa thức có thể giải được nếu số lượng vật phẩm là cố định và Lập trình tuyến tính Integer với số lượng biến hoặc ràng buộc cố định theo kết quả của Lenstras.

Câu hỏi:

Các ví dụ khác về các vấn đề NP-hard trở thành thời gian đa thức có thể giải quyết được nếu kích thước được cố định là gì?

Có vấn đề nào mà đây không phải là trường hợp?

Đây có phải luôn luôn là trường hợp cho các vấn đề thừa nhận thuật toán thời gian đa thức / giả giả của FPTAS như Knapsack?

Trong độ phức tạp tham số, chúng tôi giải quyết vấn đề bằng cách sửa một số tham số (giả sử$k$). Nếu chúng ta có thể giải quyết một số vấn đề trong$f(k) \cdot p(n)$thời gian, chúng tôi nói vấn đề là tham số cố định có thể dễ dàng trong$k$. Đây$f(k)$chỉ là một số chức năng tính toán. Có rất nhiều vấn đề về NP-hard là FPT, tuy nhiên, có rất nhiều vấn đề trong NP được cho là không thể sửa được thông số có thể điều chỉnh được.

Nếu bằng cách sửa một số tham số, chúng ta có thể giải quyết vấn đề kịp thời $O(n^{f(k)})$, vấn đề này được cho là trong XP. Chúng tôi tin rằng XP không bằng FPT (giống như chúng tôi tin P$\neq$NP). Nhưng cũng có rất nhiều vấn đề giữa hai người này (FPT và XP) và chúng tôi đã xác định một hệ thống phân cấp (thực tế là một số), một trong số đó là hệ thống phân cấp W. Trong hệ thống phân cấp W, bạn có các mức giảm như giảm các lớp hoàn thành NP, ngoại trừ, chúng tôi không tìm kiếm các mức giảm đa thời gian, chúng tôi chỉ cần giảm FPT. Lớp W [0] là lớp FPT.

Đây là một số mẫu trong các lớp khác nhau của hệ thống phân cấp W:

1. Vỏ bọc của Vertex là FPT (đường dẫn phân tách đỉnh cũng vậy trên đồ thị không có hướng)
2. Bộ độc lập và Clique đều là W [1] -complete
3. Tập thống trị là W [2] -Complete.

Đây là một mức độ phức tạp khác để phân loại các vấn đề NP theo cách chính xác hơn và nếu bạn muốn nhiều hơn, bạn có thể xem bài báo này .

Và nếu bạn muốn nhiều hơn nữa thì tốt để đọc cuốn sách của Grohe và Fomine

Và cuối cùng:

Đây có phải luôn luôn là trường hợp cho các vấn đề thừa nhận thuật toán thời gian đa thức / giả giả của FPTAS như Knapsack

Không nhất thiết, người ta biết rằng nếu vấn đề xảy ra với FPTAS thì đó cũng là FPT (điều hiển nhiên), nhưng có một số công trình về mối quan hệ của PTAS và XP, nhưng không có mối quan hệ chặt chẽ giữa hệ thống phân cấp PTAS và W (ít nhất là Tôi không biết tại thời điểm này).

Ngoài ra, trong một số trường hợp, chúng tôi có thể sửa một số tham số khác nhau, ví dụ: chiều dài của đường dẫn dài nhất trong biểu đồ bị giới hạn và kích thước của giải pháp bị giới hạn (ví dụ: trong tập đỉnh phản hồi), ...