Là ngôn ngữ của biểu diễn nhị phân của hình vuông hoàn hảo thường xuyên?

Để cho $\mbox{bin}(n)$ biểu thị biểu diễn nhị phân của một số nguyên $n$. Để cho$L = \{ \mbox{bin}(n^2) \mid n \in \mathbb{N} \}$.

Là $L$ một ngôn ngữ thông thường?

Tôi nghĩ người ta có thể chứng minh rằng $L$ không thường xuyên bằng cách sử dụng bổ đề bơm, nhưng tôi không biết cách sử dụng nó ở đây.

Chúng tôi bắt đầu với một bổ đề.

Bổ đề. Để cho$a>b \geq 4$. Nếu$2^a+2^b+1$ là một hình vuông rồi $a \geq 2b-3$.

Bằng chứng. Để cho$2^a+2^b+1 = x^2$. Thông suốt$x$ phải là số lẻ $x = 2y+1$. Sau đó$x^2 = 4y^2 + 4y + 1$, và vì thế $(y+1)y = y^2+y = 2^{a-2} + 2^{b-2} = 2^{b-2}(2^{a-b}+1)$. Nếu$y$ thậm chí sau đó $y+1$ là số lẻ $y = 2^{b-2}z$ cho một số lẻ $z$, và do đó $2^{a-b}+1 = (2^{b-2}z+1)z \geq 2^{b-2}+1$ và vì thế $a \geq 2b-2$. Nếu$y$ là số lẻ thì nhất thiết phải $y+1 = 2^{b-2}z$ cho một số lẻ $z$, và do đó $2^{a-b}+1 = z(2^{b-2}z-1) \geq 2^{b-2}-1 = 2^{b-3} + 1 + (2^{b-3}-2)$. Từ$b \geq 4$, chúng ta có thể kết luận rằng $a \geq 2b-3$. $\square$

Để cho $L' = L \cap 10^*10^*0001$. Theo bổ đề, tất cả các từ trong$L'$ có dạng $10^{a-b-1}10^{b-1}1$ với $a-b-1 \geq (b-1)-3$. Hơn nữa, kể từ khi$2^{2c} + 2^{c+1} + 1 = (2^c+1)^2$, cho tất cả $c \geq 3$, $10^{c-2}10^c1 \in L'$.

Nếu $L$ là thường xuyên rồi $L'$, nói rằng DFA tối thiểu của nó có $p$Những trạng thái. Xem xét từ$10^{p-2}10^p1 \in L'$và đánh dấu chuỗi con $0^p$. Bổ đề bơm mở rộng cho thấy rằng đối với một số$0 < q \leq p$, $10^{p-2}10^{p+q(t-1)}1 \in L'$ cho tất cả $t \geq 0$. Tuy nhiên, theo bổ đề của chúng tôi, cho tất cả$t$ chúng ta phải có $p-2 \geq p+q(t-1)-3$ và vì thế $1 \geq q(t-1)$, đó là sai cho $t \geq 3$.