Biến thể của Omega và Omega vô cùng

7

Một số tác giả định nghĩa theo một cách hơi khác: chúng ta hãy sử dụng (đọc omega omega vô cực) cho định nghĩa thay thế này. Chúng tôi nói rằng nếu tồn tại hằng số dương sao cho cho vô số số nguyên , trong khi thông thường yêu cầu số này giữ cho tất cả các số nguyên lớn hơn một nhất định . $\Omega$ $\overset{\infty}{\Omega}$ $f(n) = \overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ $c$ $f(n) \geq c\cdot g(n) \geq 0$ $n$ $\Omega$ $n_0$

Chỉ ra rằng với hai hàm và bất kỳ không có triệu chứng, thì hoặc hoặc cả hai, trong khi điều này không đúng nếu chúng ta sử dụng thay cho . $f(n)$ $g(n)$ $f(n) = O(g(n))$ $f(n)= \overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ $\Omega$ $\overset{\infty}{\Omega}$

Tôi đang cố gắng học thuật toán. Nhưng tôi không thể chứng minh điều này. Các chuyên gia có thể giúp tôi?

asymptotics landau-notation

— gopal
nguồn

Cố gắng sử dụng các định nghĩa, hãy nhớ rằng đối với mọi tài sản

P

$P$ , hoặc

P

$P$ giữ cho vô số số nguyên, hoặc

P

$P$ không giữ cho hầu hết các số nguyên. Quan sát rằng

Ω^{\infty}

$\Omega^\infty$ là sự phủ định của

O

$O$ .

— Shaull

Xem ở đây hoặc ở đây .

— Raphael

5

Gợi ý: Nếu $f(n) \notin \overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ và $g(n)$ là không có triệu chứng không âm tính, sau đó cho tất cả các hằng số dương $c$ , $f(n) \leq c \cdot g(n)$ đủ lớn $n$ . Điều này theo sau bằng cách bỏ qua điều kiện $c \cdot g(n) \geq 0$ và phủ định định nghĩa của $f(n) \in \overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ . Trong thực tế, theo cách này bạn sẽ có được kết quả mạnh mẽ hơn $f(n) \in \overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ hoặc là $f(n) \in o(g(n))$ (nhưng không phải cả hai).

Gợi ý thêm: Bạn có thể bắt đầu bằng cách hiển thị rằng phủ định của " cho vô số " là " cho đủ lớn ". $P(n)$ $n$ $\lnot P(n)$ $n$

— Yuval Filmus
nguồn

Tôi không thể hiểu sự khác biệt của vô số & cho đủ lớn n . Bạn có biết một nguồn có thể giúp tôi ??

— FHReh Karimi

2

Tôi đề nghị một nền tảng tốt trong lý thuyết tập hợp và logic hình thức. Một cái gì đó giữ cho tất cả đủ lớn

n

$n$ nếu có

n_{0}

$n_0$ như vậy nó giữ cho tất cả

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$ . Nó giữ cho vô số

n

$n$ nếu tập hợp

n

$n$ mà nó giữ là vô hạn.

— Yuval Filmus

0

Tôi có thể cho bạn một ví dụ để bạn có thể hiểu rõ hơn $\overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ . Hãy tưởng tượng một đống nhị thức. Thao tác chèn là $O(logN)$ , Nhưng nó là ${\Omega}(logN)$ ?

Trong trường hợp khi chúng ta có các cây xếp hạng 4-3-2-1-0 và chèn một cây có thứ hạng 0 sẽ là một ${\Omega}(logN)$ hoạt động. Nhưng chèn một cây có thứ hạng 0 vào đống kết quả từ hoạt động trước đó (heap có thứ hạng cây là 5) sẽ là một $O(1)$ hoạt động, vì chỉ nên thêm con trỏ và không cần thêm công việc hợp nhất.

Đây là sự khác biệt cần thiết giữa ${\Omega}$ và $\overset{\infty}{\Omega}$ . Ví dụ, hoạt động chèn heap nhị phân là $\overset{\infty}{\Omega}(logN)$ cho bộ $n = \{{1,3,7,...,2^k - 1}\}$ . Nó không nói rằng khi $n \geq n_0$ sự phức tạp là ${\Omega}(logN)$ mà là cho một số tập hợp vô hạn của n, nhưng không phải cho tất cả $n \geq n_0$

— denis631
nguồn

@YuvalFilmus vui lòng sửa cho tôi Nếu tôi sai

— denis631