Chu kỳ dài nhất chứa trong hai chu kỳ

Là vấn đề sau NP-đầy đủ? (Tôi giả sử là có).

Đầu vào: một đồ thị vô hướng trong đó bộ cạnh có thể được phân tách thành hai chu kỳ đơn giản tách rời cạnh (đây không phải là một phần của đầu vào). $k \in \mathbb{N},G=(V,E)$

Câu hỏi: Có chu trình đơn giản trong có độ dài lớn hơn không? $G$ $k$

Rõ ràng vấn đề nằm ở NP và mức độ tối đa trong là , nhưng điều đó dường như không có ích. $G$ $\leq 4$

graph-theory np-complete decision-problem

— Danh sách
nguồn

Tôi không nghĩ bạn đúng về "nhiều nhất 4 đường dẫn kết nối bất kỳ cặp nào". Xem: i.imgur.com/mYL4n1V.png

— svinja

@svinja Bạn nói đúng, tôi nên nói nhiều nhất là 4 đường phân cách cạnh nhau tồn tại giữa bất kỳ cặp hai đỉnh nào.

— Liệt kê

Tiêu đề của bạn là sai lệch, bởi vì chu trình đơn giản dài nhất có thể không phải là một trong hai chu kỳ trong phân tách (trong bất kỳ phân tách nào).

E

$E$

— Denis

@dkuper nó thực sự có thể, nhìn vào sự kết hợp của hai đỉnh tách rời các chu kỳ đơn giản.

— Liệt kê

Quan điểm của tôi không phải là nó không bao giờ có thể là một trong số họ, mà đôi khi nó không phải là một trong số họ. Vì vậy, vấn đề không phải là tìm thấy lớn hơn của hai.

— Denis

Câu trả lời:

Một nỗ lực giảm ....

Giảm từ đường dẫn Hamilton trên sơ đồ với mức 3 tối đa là NPC [G & J] $G = (V,E)$

bỏ qua hướng của các cạnh và sử dụng quét độ sâu đầu tiên (không bị chặn) từ một nút tùy ý, chia các cạnh của thành hai bộ đường dẫn riêng biệt (không bị chặn) (đỏ và xanh lục trong hình); $G$
tham gia các đường dẫn màu đỏ thêm các "nút liên kết" bổ sung (các nút màu tím trong hình B) và tạo một mạch màu đỏ không bị chặn; tham gia các đường dẫn màu xanh lá cây thêm các "nút liên kết" bổ sung (các nút màu tím trong hình) và tạo một mạch màu xanh lá cây vô hướng;
biến đổi từng nút ban đầu của indegree 1 và outdegree 2 (hình C), thêm nút màu vàng trên cạnh màu đỏ vào và thêm nút màu vàng ở cạnh màu đỏ đầu tiên ra ngoài ; cuối cùng thêm nút vàng "về phía" cạnh xanh lục thứ hai sử dụng đường dẫn "được bọc" xung quanh chạm vào các nút màu vàng ngoài cùng của các cạnh màu đỏ (hình D). $b \in V$ $k$ $a\to b$ $k$ $b \to c$ $k$ $b \to d$ $b$

Trong biểu đồ kết quả, tất cả các nút màu vàng có thể được duyệt qua một đường dẫn đơn giản chỉ theo hai cách được hiển thị trong hình E và hình F, tương ứng với hai đường ngang hợp lệ của nút ban đầu ; không chính thức nếu một cạnh hướng tới nút màu tím "liên kết" thêm được sử dụng, nút vàng không thể được duyệt qua. $3k$ $b \in V$ $k$

biến đổi từng nút ban đầu của V của indegree 2 và outdegree 1 theo cách tương tự

Chọn một số tiền đủ lớn, đồ thị kết quả có đường dẫn đơn giản có độ dài lớn hơn khi và chỉ khi đồ thị gốc có đường dẫn Hamilton (có độ dài ) $k \gg |V|$ $G'$ $3k(|V|-1)$ $G$ $|V|-1$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Hình ảnh lớn hơn có thể được tải xuống ở đây

— Vor
nguồn

Đây là một bằng chứng rất đẹp, có lẽ bạn nên chỉ đạo các cạnh trong hình 'A' để dễ hiểu cách lấy đường dẫn hơn (tôi nghĩ rằng tôi đã hiểu nó).

— Liệt kê

@ Listing: việc xây dựng các đường dẫn không phụ thuộc vào các cạnh được định hướng (thực sự tôi đã viết tìm kiếm "vô hướng" trong câu trả lời). Bạn nên bắt đầu từ một nút tùy ý, thực hiện quét độ sâu đầu tiên từ nó tô màu với các cạnh màu đỏ đi qua, sau đó quay lại nút cấp 3 đầu tiên gặp phải và tiếp tục quét độ sâu đầu tiên từ nó tô màu với các cạnh màu xanh lá cây, v.v. .. có lẽ nó có một định nghĩa chính thức hơn, nhưng bây giờ nó không xuất hiện trong đầu tôi. Hãy cho tôi biết nếu bạn cần thêm chi tiết.

— Vor

Tôi thấy, thuộc tính mà các cạnh được dịch chuyển theo hướng 'chính xác' được thi hành bởi phép biến đổi cuối cùng. Cảm ơn bạn đã làm rõ.

— Liệt kê

Lấy cảm hứng từ câu trả lời của Vor, tôi muốn đưa ra một câu hỏi đơn giản hơn.

Bắt đầu với bài toán chu trình Hamilton cho bài toán đồ thị lưới đã được Itai chứng minh là khó.

Có thể dễ dàng nhận thấy rằng tập hợp cạnh của biểu đồ lưới có thể được phân chia thành 2 tập con khác nhau: ngang và dọc.

Vì vậy, bây giờ, chúng ta cần dệt tất cả các chiều ngang thành một chu kỳ đơn giản, và dệt tất cả các chiều dọc thành một chu kỳ đơn giản khác.

Đây là nhiệm vụ rất dễ dàng: đối với các đường thẳng đứng, quét từ ngoài cùng sang phải, chỉ cần kết nối bất kỳ khoảng trống dọc nào, sau đó kết nối đường thẳng đứng tọa độ x liên tiếp, sau đó kết nối đỉnh thấp nhất bên trái với đỉnh cao nhất bên phải. Làm tương tự cho các cạnh ngang.

Lưu ý rằng biểu đồ thu được vẫn đơn giản, không bị ràng buộc và đáp ứng yêu cầu. Nó đơn giản bởi vì ở bước cuối cùng của pha dọc và pha ngang, chúng ta xử lý hai cặp đỉnh khác nhau.

Bây giờ, làm một thủ thuật tương tự như Vor đã làm. Ở mỗi đỉnh, đối với mỗi cạnh sự cố ban đầu của nó, thêm đỉnh mới. Như thường lệ, ahouls đủ lớn. Cuối cùng, độ dài của chu trình Hamilton chính hãng phải là. Nhưng tất nhiên, nó không phải là hamiltonian của đồ thị thu được. $k$ $k$ $2k|V|$

— Thịnh D. Nguyễn
nguồn