Độ chính xác-Bằng chứng của thuật toán tham lam cho độ che phủ tối thiểu của cây

14

Có một thuật toán tham lam để tìm bìa đỉnh tối thiểu của cây sử dụng giao thức DFS.

Đối với mỗi lá của cây, chọn cha mẹ của nó (tức là bố mẹ của nó nằm trong bìa đỉnh tối thiểu).
Đối với mỗi nút nội bộ:
nếu bất kỳ con nào của nó không được chọn, thì hãy chọn nút này.

Làm thế nào để tôi chứng minh rằng chiến lược tham lam này cho một câu trả lời tối ưu? Rằng không có đỉnh có kích thước nhỏ hơn kích thước mà thuật toán trên tạo ra?

algorithms trees greedy-algorithms

— toàn bộ
nguồn

Tôi không nghĩ logic cho bước thứ 2 là đúng. Nếu bạn xem xét một cây thoái hóa với 6 nút đi xuống hết cỡ (gắn nhãn 1-6 tương ứng với độ sâu của chúng). Sau đó, bước đầu tiên của thuật toán của bạn sẽ chọn nút 5. Bước thứ hai sau đó có thể chọn nút đầu tiên (root) và sau đó là nút thứ hai (con) HOẶC nút thứ ba. Tuy nhiên, điều này không chính xác vì bạn chỉ muốn chọn nút 2 và nút 5 cho một giải pháp chính xác.

— Miguel.martin

@ Miguel.martin Nếu Vertex Cover chỉ chứa các đỉnh được đánh số 2 và 5, cạnh giữa nút 3 và 4 sẽ không được che.

— Laschet Jain

11

Đầu tiên chúng ta quan sát những điều sau đây: Có một bìa tối ưu , và không có lá là trong . Điều này đúng vì trong bất kỳ trang bìa tối ưu bạn có thể thay thế tất cả lá trong với cha mẹ, và bạn nhận được một bìa đỉnh mà không phải là lớn hơn so với . $C$ $C$ $X$ $X$ $X$

$C$ $C$ $C$

— A.Schulz
nguồn

4

$|M| \leq |C|$ $M$ $C$

— Yuval Filmus
nguồn