Xây dựng đội trong đồ thị ba bên

Chính phủ muốn tạo ra một nhóm với một nhà giả kim , một người xây dựng và một nhà khoa học máy tính .

Để có sự hợp tác tốt, điều quan trọng là 3 thành viên trong nhóm thích nhau.

Do đó, chính phủ tập hợp ứng cử viên của từng ngành nghề và tạo ra biểu đồ "thích" của họ. Đây là một biểu đồ ba bên, trong đó có một cạnh giữa và iff thích .$k$$a$$b$$a$$b$

(Lưu ý rằng "như" mối quan hệ là đối xứng nhưng không phải bắc cầu, ví dụ: nếu thích thì thích , nhưng nếu thích và thích , sau đó không nhất thiết là thích ).$a$$b$$b$$a$$a$$b$$b$$c$$a$$c$

Điều này luôn luôn có thể để tạo ra một nhóm? Dĩ nhiên là không. Ví dụ, có thể không có nhà giả kim nào thích bất kỳ nhà xây dựng nào.

Tuy nhiên, giả sử biểu đồ "thích" có thuộc tính sau: trong mỗi nhóm gồm 3 nhà giả kim và 3 nhà xây dựng, có ít nhất một cặp nhà giả kim - nhà xây dựng giống nhau; ditto cho các nhà giả kim-máy tính và nhà xây dựng-máy tính .

Với tài sản này, điều này luôn có thể tạo ra một đội nơi cả 3 thành viên thích nhau? Nếu vậy, số lượng ứng cử viên tối thiểu của từng loại ( ) mà chính phủ sẽ phải thu thập là bao nhiêu?$k$

Tôi muốn cả hai tìm k và chứng minh rằng đó là mức tối thiểu.

Một câu hỏi phụ có thể liên quan là: trong một nhóm nhà giả kim và nhà xây dựng , số lượng tối thiểu của các cặp giống nhau là bao nhiêu? Với , theo giả định của câu hỏi, con số đó là 1. Còn thì sao?$k$$k$$k=3$$k>3$

Câu hỏi thứ ba là: tên của loại vấn đề này là gì?

Tóm tắt cho đến nay (như CW).

Yuval Filmus đã viết lại câu hỏi theo cách thông thường hơn, như

tối thiểu là bao nhiêu để mỗi màu đỏ / xanh lam của các cạnh của (đồ thị 3 phần hoàn chỉnh với đỉnh trong mỗi phân vùng) có hình tam giác màu đỏ hoặc màu xanh ?$k$$K_{k,k,k}$$k$$K_{3,3}$

Erel đã chứng minh rằng giới hạn dưới của ít nhất là 5, và sau đó sử dụng công thức SAT mà .$k$$k \ge 8$

frafl cho thấy giới hạn trên của nhiều nhất là 15. Aravind đã phác thảo một lập luận tốt đẹp cho giới hạn trên tốt hơn.$k$

Đây là một hình thức chi tiết hơn về lập luận của Aravind.

Nếu một đỉnh trong phân vùng được kết nối màu đỏ với 3 đỉnh trong phân vùng và 3 đỉnh trong phân vùng , thì có một tam giác màu đỏ liên quan đến$u$$A$$S$$B$$T$$C$$u$ và một đỉnh từ mỗi đỉnh$S$ và $T$, hay nói cách khác $S\cup T$ gây ra một màu xanh $K_{3,3}$. Vì vậy, không có đỉnh nào có thể có nhiều hơn 2 hàng xóm được kết nối màu đỏ trong cả hai phân vùng lân cận.

Do đó mọi đỉnh đều có ít nhất $k-2$hàng xóm kết nối màu xanh trong ít nhất một trong các phân vùng lân cận của nó. Để cho$S$ là các đỉnh trong $A$ trong đó có ít nhất $k-2$ hàng xóm kết nối màu xanh trong $B$và $T$ là những đỉnh trong $A$ trong đó có ít nhất $k-2$ hàng xóm kết nối màu xanh trong $C$; lưu ý rằng$A = S\cup T$. Nếu$S\cap T$ không trống, sau đó chuyển đổi màu sắc mang lại mâu thuẫn kể từ khi $k\ge 5$. Giả sử$S$ và $T$là rời rạc. Trong thực tế, mỗi đỉnh trong$S$ phải được kết nối màu xanh với tối đa 2 đỉnh trong $C$ (nên kết nối màu đỏ với ít nhất $k-2$ đỉnh trong $C$) và mỗi đỉnh trong $T$ phải được kết nối màu xanh với tối đa 2 đỉnh trong $B$ (và kết nối màu đỏ với ít nhất $k-2$ đỉnh trong $C$).

Hiện nay $k \ge 6$ vì vậy mà không mất tính tổng quát cho rằng $S$ chứa một tập hợp con $S'$với ít nhất 3 đỉnh. Chúng đều được kết nối với màu xanh$k-2$ đỉnh trong $B$, vì vậy những khu phố này phải có một giao lộ chung $U$ với ít nhất $k-6$các đỉnh. Nếu$k\ge 9$, sau đó $U$ chứa ít nhất 3 đỉnh, vì vậy $S'\cup U$ gây ra một màu xanh $K_{3,3}$.

Điêu nay cho thây răng $k\ge 9$ là đủ để luôn đáp ứng các điều kiện và do đó 9 là giới hạn trên của số lượng mong muốn.

Những gì còn lại là để chứng minh một ví dụ với $k=8$ (sẽ cho thấy số lượng mong muốn là 9) hoặc để hiển thị rằng số lượng $k=8$ luôn luôn đủ để đảm bảo hình tam giác màu đỏ hoặc màu xanh $K_{3,3}$ (sẽ hiển thị nó là 8).

Giới hạn trên của câu hỏi đầu tiên là $k\leq 15$: Lấy một bộ $5$ $a$S $A=\{a_1,\dots,a_5\}$, $5$ $b$S $B_1=\{b_1,\dots,b_5\}$ và $5$ $c$S $C_1=\{c_1,\dots,c_5\}$. Chúng tôi biết rằng nhiều nhất là 2$a$s không có hàng xóm trong số $B$s, nếu không, chúng tôi đã tìm thấy một bổ sung của một $K_{3,3}$, đó là cấm. Điều tương tự giữ cho$a$cát $c$S. Do đó phải có một$a_1'$có một người hàng xóm trong cả hai bộ. Chúng tôi gọi những người hàng xóm$b_1'$ và $c_1'$ tương ứng.

Bây giờ chúng tôi sửa bộ $A$ và xem xét $10$ các cặp bổ sung của $b$cát $c$S $(B_i,C_i)_{i\in\{2,\dots,11\}}$ với

Bây giờ ít nhất $3$ các cặp đồng ý giống nhau $a$ theo nguyên tắc pigeonhole, tức là có một $a_l\in A$ và cặp khác nhau $m_1,m_2,m_3 \in \{1,\dots,11\}$ như vậy mà $a_l = a_{m_1}' = a_{m_2}' = a_{m_3}'$. Hiện nay$b_{m_p}'$ và $c_{m_p}'$ là hàng xóm của $a_l$ cho $p\in\{1,\dots,3\}$. Như vậy đối với một số$p,p'\in \{1,2,3\}$ bộ $\{a_l,b_{m_p}',c_{m_{p'}}'\}$ gây ra một tam giác của bạn bè.

Theo nhận xét của András Salamon, tôi quyết định đặt câu hỏi của mình là vấn đề SAT. Tôi đã tạo một ứng dụng Javascript lấy đầu vào số lượng ứng cử viên cho mỗi nghề nghiệp ($k$) và tạo công thức CNF xác định biểu đồ với k ứng cử viên cho mỗi nghề nghiệp, có một cạnh giữa hai bộ ba, nhưng KHÔNG chứa tam giác ứng viên.

Nếu công thức đó được thỏa mãn, điều đó có nghĩa là $k$quá nhỏ để đảm bảo rằng luôn có một đội ngũ khả thi. Nếu công thức đó không bão hòa, có nghĩa là$k$ là đủ lớn vì luôn có một đội ngũ khả thi.

Tôi đã tạo các tệp đầu vào MiniSAT cho $k=3..8$. Dành cho$k<=7$, MiniSAT trở lại sau chưa đầy một giây, nói rằng nó là thỏa đáng (tức là k quá nhỏ). Dưới đây là bài tập MiniSAT được tìm thấy cho$k=7$. Điều này có nghĩa là 8 là giới hạn thấp hơn về số lượng ứng cử viên cần thiết (tốt hơn giới hạn dưới 7 mà tôi tìm thấy trong câu trả lời trước).

Dành cho $k=8$, Tôi đã khởi động MiniSAT vài phút trước và nó vẫn đang chạy. Tệp đầu vào chứa 192 biến và 9920 mệnh đề. Tôi không biết sẽ mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành.

Dựa trên sự chậm chạp trong tính toán (và giả sử tôi không có lỗi trong quá trình thực hiện), tôi phỏng đoán rằng 8 hoặc nhiều nhất là 9 ứng cử viên là đủ. Nhưng tôi vẫn chờ xem MiniSAT nói gì.

Đây là đầu ra hiện tại:

============================[ Problem Statistics ]=============================
|                                                                             |
|  Number of variables:           192                                         |
|  Number of clauses:            9920                                         |
|  Parse time:                   0.01 s                                       |
|  Simplification time:          0.03 s                                       |
|                                                                             |
============================[ Search Statistics ]==============================
| Conflicts |          ORIGINAL         |          LEARNT          | Progress |
|           |    Vars  Clauses Literals |    Limit  Clauses Lit/Cl |          |
===============================================================================
|       100 |     192     9920    86208 |     3637      100     16 |  0.003 % |
|       250 |     192     9920    86208 |     4001      250     22 |  0.003 % |
|       475 |     192     9920    86208 |     4401      475     25 |  0.003 % |
|       812 |     192     9920    86208 |     4841      812     29 |  0.003 % |
|      1318 |     192     9920    86208 |     5325     1318     31 |  0.003 % |
|      2077 |     192     9920    86208 |     5857     2077     32 |  0.003 % |
|      3216 |     192     9920    86208 |     6443     3216     35 |  0.003 % |
|      4924 |     192     9920    86208 |     7088     4924     34 |  0.003 % |
|      7486 |     192     9920    86208 |     7796     3907     35 |  0.003 % |
|     11330 |     192     9920    86208 |     8576     7751     36 |  0.003 % |
|     17096 |     192     9920    86208 |     9434     4866     39 |  0.003 % |
|     25745 |     192     9920    86208 |    10377     8762     36 |  0.003 % |
|     38719 |     192     9920    86208 |    11415     6081     39 |  0.003 % |
|     58180 |     192     9920    86208 |    12557     8338     35 |  0.003 % |
|     87372 |     192     9920    86208 |    13812    12272     37 |  0.003 % |
|    131161 |     192     9920    86208 |    15194     7495     36 |  0.003 % |
|    196845 |     192     9920    86208 |    16713    12107     38 |  0.003 % |
|    295371 |     192     9920    86208 |    18384     9989     32 |  0.003 % |
|    443160 |     192     9920    86208 |    20223    10152     40 |  0.003 % |
|    664843 |     192     9920    86208 |    22245    18854     37 |  0.003 % |
|    997368 |     192     9920    86208 |    24470    15595     40 |  0.003 % |
|   1496156 |     192     9920    86208 |    26917    15102     34 |  0.003 % |
|   2244338 |     192     9920    86208 |    29608    19091     42 |  0.003 % |
|   3366612 |     192     9920    86208 |    32569    16905     35 |  0.003 % |
|   5050023 |     192     9920    86208 |    35826    21640     37 |  0.003 % |
|   7575139 |     192     9920    86208 |    39409    34856     39 |  0.003 % |
|  11362814 |     192     9920    86208 |    43350    20735     38 |  0.003 % |
|  17044326 |     192     9920    86208 |    47685    35456     42 |  0.003 % |
|  25566595 |     192     9920    86208 |    52453    43639     34 |  0.003 % |
|  38349998 |     192     9920    86208 |    57699    48290     42 |  0.003 % |
|  57525103 |     192     9920    86208 |    63469    22810     40 |  0.003 % |
|  86287761 |     192     9920    86208 |    69816    55424     36 |  0.003 % |
| 129431749 |     192     9920    86208 |    76797    69548     43 |  0.003 % |

Sau 4 giờ nữa, vẫn không có kết quả:

| 194147731 |     192     9920    86208 |    84477    67509     38 |  0.003 % |
| 291221704 |     192     9920    86208 |    92925    61375     34 |  0.003 % |

Giới hạn trên của 9:

Tôi đang sử dụng đặc tính của Yuval Filmus.

Giả sử rằng một đỉnh trong A có ít nhất 3 lân cận đỏ ở cả B và C. Sau đó, có một cạnh màu đỏ trên hai tập hợp lân cận, dẫn đến hình tam giác màu đỏ hoặc có màu xanh lam $K_{3,3}$.

Vì vậy, nếu k> = 6, chúng ta thu được rằng có ba đỉnh trong A mỗi đỉnh có nhiều nhất là 2 lân cận đỏ trong B (wlog- in B). Do đó, 3 đỉnh này phải có ít nhất k-6 lân cận xanh. Nếu$k \geq 9$, chúng ta có một màu xanh $K_{3,3}$.

Như một giới hạn thấp hơn, đây là một bằng chứng cho thấy 5 ứng cử viên của mỗi ngành là không đủ. Giả sử có$n=5$ thí sinh đánh số $i=0..4$, với các mối quan hệ sau:

• Nhà giả kim $i$ thích Builder $i$
• Người xây dựng $i$ thích Máy tính $i$
• Máy tính $i$ thích Nhà giả kim $(i+1)\ mod\ n$.

Theo nguyên tắc pigeonhole, trong mỗi nhóm gồm 3 nhà giả kim và 3 nhà xây dựng, có ít nhất 1 cặp giống nhau (ditto cho các ngành nghề khác). Tuy nhiên, toàn bộ biểu đồ là một vòng tròn đơn có chiều dài 15 và không có vòng tròn nào có chiều dài 3.

Việc xây dựng có thể được mở rộng cho $n=6$, bằng cách thêm vòng tròn lớn sau:

• $A[i]$ thích $B[(i+1)\ mod\ n]$
• $B[i]$ thích $C[(i+1)\ mod\ n]$
• $C[i]$ thích $A[(i+2)\ mod\ n]$

Thật không may, việc xây dựng không làm việc cho $n>6$. Vẫn còn một khoảng cách rộng giữa giới hạn dưới này và giới hạn trên của frafl là 15.