Tính toán của hàm hải ly bận rộn

Hàm dịch chuyển tối đa bận rộn, , có các giá trị đã biết cho . Có một số lý do cơ bản, cấu trúc tại sao không thể tin được rằng chúng ta sẽ tìm thấy cho ? Có gì khác về so với ? Hay ? Ở đâu đó trên đường đi phải có một số khác biệt cơ bản, nếu không, về nguyên tắc sẽ có thể tính toán được cho tất cả , vậy chính xác thì sự khác biệt này là gì? $S(n)$ $n\leq4$ $S(n)$ $n>4$ $n=4$ $n=5$ $n=6$ $S(n)$ $n$

computability busy-beaver

— PeteyPabPro
nguồn

Câu trả lời:

Lý do mà không chương trình nào có thể tính là vì nếu bạn biết là gì thì bạn có thể quyết định vấn đề tạm dừng - bạn sẽ biết khi nào nên dừng chờ đợi. Mặt khác, với mỗi có một chương trình tính cho tất cả - nó chỉ sử dụng một bảng. $S(n)$ $S(n)$ $m$ $S(n)$ $n \leq m$

Nếu có thể chứng minh giá trị của cho tất cả (nghĩa là với tất cả chúng ta có thể chứng minh cho một số ) thì chúng ta có thể tính bằng cách tìm kiếm tất cả bằng chứng (điều này giả định rằng hệ thống bằng chứng của chúng tôi là hợp lệ). Vì vậy, đối với mỗi hệ thống chứng minh, có một giá trị tối thiểu là mà bạn không thể chứng minh rằng cho bất kỳ . $S(n)$ $n$ $n$ $S(n) = \alpha$ $\alpha$ $S(n)$ $n$ $S(n) = \alpha$ $\alpha$

Cuối cùng, lý do mà chúng ta biết có lẽ là vì là một con số thực sự nhỏ. Số lớn hơn một chút, và vì vậy mọi thứ trở nên phức tạp hơn. Không có lý do sâu sắc tại sao chúng ta biết chứ không phải , giống như không có lý do sâu sắc tại sao chúng ta biết số Ramsey nhưng không phải (mặc dù số Ramsey tất nhiên có thể tính toán được) . $S(4)$ $4$ $5$ $S(4)$ $S(5)$ $R(4)$ $R(5)$

— Yuval Filmus
nguồn

Cảm ơn. Đoạn giữa về cơ bản là những gì tôi đã tự hỏi (và đó là bằng chứng của Godel, đúng không?). Vì vậy, thực sự có thể là có bằng chứng trong hệ thống chính thức của chúng tôi nhưng thì không.

S (4)

$S(4)$

S (5)

$S(5)$

— PeteyPabPro

Có lẽ. Nếu là không thể chứng minh được nhưng sự thật là cũng không thể chứng minh được và vì vậy chúng tôi có một tuyên bố có thể không được chứng minh là không bác bỏ.

S (n) = " S (n) "

$S(n)=\text{"}S(n)\text{"}$

S (n) \neq " S (n) "

$S(n)\neq\text{"}S(n)\text{"}$

— Yuval Filmus

Bạn vẫn chưa thực sự giải thích lý do tại sao chúng ta có thể chắc chắn S (4) là chính xác, trong khi S (5) hoặc cao hơn chúng ta không bao giờ có thể biết. Có phải vì chúng tôi không 100% về S (4), nhưng chỉ "gần như" chắc chắn?

— Dan W

Chúng tôi chắc chắn 100% về S (4). Tôi không nghĩ có bất kỳ lý do sâu xa nào đằng sau sự thiếu hiểu biết của chúng tôi về S (5). Đó chỉ là giới hạn hiện tại của kiến thức của chúng tôi.

— Yuval Filmus

Tôi tin rằng có một hệ thống bằng chứng thực sự mạnh mẽ và một máy xử lý màu 6 trạng thái 2 sao cho có thể chứng minh rằng không có bằng chứng nào trong hệ thống đó rằng nó sẽ không bao giờ dừng lại và nó sẽ không dừng lại trước bất kỳ thuật toán nào có thể được chứng minh trong hệ thống đó trong một nhân vật googol để cuối cùng dừng lại.

— Ti-mô-thê

Scott Aaronson thảo luận về điều này ở đây . Ông và đồng tác giả của mình tìm thấy một giới hạn trên rõ ràng trên mà có thể được tính toán. $n$ $S(n)$

— PeteyPabPro
nguồn

Bạn có thể trích dẫn phần có liên quan?

— Ác

một góc độ khác, với một bản phác thảo không chính thức về một câu trả lời, sẽ mất nhiều thời gian để nghiên cứu kỹ hơn (về cơ bản nó là một chương trình nghiên cứu): có một số bằng chứng sơ bộ cho thấy giới hạn của những gì có thể tính toán được về Busy Beaver Hàm là thước đo độ phức tạp của thuật toán, với hai ref dưới đây gợi ý theo hướng này. [1] [2] đại khái, các TM nhỏ với rất ít trạng thái không thể thực hiện "nhiều" hoặc "hành vi tinh vi" như các thuật toán phức tạp hơn với nhiều trạng thái hơn. do đó, tính toán của nó dường như cũng có mối liên hệ sâu sắc với độ phức tạp Kolmogorov . [3] một cách khác để xem xét điều này là những gì được biết / tính toán về hàm Busy Beaver cũng trùng khớp với định lý tự động trong định lý tự động chứng minh, mà (tương tự như tiến bộ công nghệ) là một biên giới tiến bộ liên tục dựa trên nghiên cứu khoa học máy tính và toán học.

[1] Vấn đề hải ly bận rộn, một cuộc tấn công thiên niên kỷ mới , van Heuveln et al

[2] Máy Turing nhỏ và cuộc thi hải ly bận rộn , Michel

[3] Về thời gian chạy các sự cố ngắn nhất , Batfai

— vzn
nguồn