số

Cho số sao cho có sự phân công các số là hoán vị của sao cho $k$ $A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$ $\sum\limits_{i=1}^k A_i = k(2k + 1)$ $i_1, i_2, ... , i_{2k}$ $1, 2, ... , 2k$

$i_1 + i_2 \leq A_1\\ i_3 + i_4 \leq A_2\\ .\\.\\.\\ i_{2k-1} + i_{2k} \leq A_k$

Tôi không thể tìm thấy một thuật toán hiệu quả và giải quyết vấn đề này. Nó dường như là một vấn đề tổ hợp. Tôi không thể tìm thấy một vấn đề NP-Complete tương tự. Có phải vấn đề này trông giống như một vấn đề NP-Complete đã biết hoặc có thể giải quyết bằng thuật toán đa thức không?

np-complete decision-problem

— thời gian
nguồn

Bạn đã thực hiện bất kỳ tiến bộ về vấn đề?

— Yuval Filmus

Tôi quên đề cập rằng

A_{1} \leq A_{2} \leq . . . \leq A_{k}

$A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$

— gprime

Vấn đề liên quan , cũng không có câu trả lời thỏa đáng. (Thoạt nhìn có thể không rõ ràng chúng có liên quan như thế nào, nhưng nếu , vấn đề tương đương với việc tìm hoán vị sao cho .

K = 2 N

$K=2N$

1 \dots 2 N

$1 \ldots 2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a-1} - i_{2a} = A_i$

— Peter Shor

Câu trả lời:

Vấn đề này là NP-đầy đủ mạnh mẽ.

Giả sử tất cả là số lẻ. Sau đó, chúng ta biết rằng vì là số lẻ, một trong số và là số chẵn và số còn lại là số lẻ. Chúng ta có thể giả sử rằng là số lẻ và là số chẵn. Bằng cách cho và , chúng tôi có thể chỉ ra rằng điều này tương đương với yêu cầu hai hoán vị, và , của các số sao cho . $A_j$ $i_{2j-1} + i_{2j} = A_j$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $\pi_j = \frac{1}{2}(i_{2j-1}+1)$ $\sigma_j = \frac{1}{2}(i_{2j})$ $\pi$ $\sigma$ $1 \ldots n$ $\pi_j + \sigma_j = \frac{1}{2}(A_j+1)$

Vấn đề này được biết là NP-đầy đủ; xem vấn đề cstheory.se này và bài báo này của W. Yu, H. Hoogeveen và JK Lenstra đã tham chiếu trong câu trả lời.

— Peter Shor
nguồn

Đây là một gợi ý để bạn bắt đầu: vì tổng của tất cả các số từ đến là chính xác , chỉ có thể có một giải pháp nếu trên thực tế , , v.v. . Vì vậy, với chúng tôi biết , v.v. Ngoài ra, . $1$ $2k$ $k(2k+1)$ $i_1 + i_2 = A_1$ $i_3 + i_4 = A_2$ $i_1$ $i_2$ $3 \leq A_j \leq 4k-1$

— Yuval Filmus
nguồn

Vậy tôi nên chọn như thế nào để bắt đầu? Tôi không thấy giải pháp. Nhưng cảm ơn vì tài sản

i_{1}

$i_1$

3 \leq A_{j} \leq 4 k - 1

$3 \leq A_j \leq 4k -1$

— gprime

Nếu được sắp xếp, chúng tôi biết , , , v.v. Những tiêu chí này, cùng với , đã đủ chưa? Nếu có, có thể có một thuật toán đơn giản cho vấn đề này.

A_{i}

$A_i$

3 \leq A_{1}

$3 \leq A_1$

10 \leq A_{1} + A_{2}

$10 \leq A_1 + A_2$

21 \leq A_{1} + A_{2} + A_{3}

$21 \leq A_1 + A_2 + A_3$

\sum_{i} A_{i} = k (2 k + 1)

$\sum_i A_i = k(2k+1)$

— Peter Shor

Vâng, chúng được sắp xếp. Tôi sẽ cố gắng sử dụng điều này ...

— gprime

@PeterShor Bạn cũng phải xem xét các giới hạn từ hướng ngược lại, tức là , v.v. Nhìn vào vấn đề một cách ngẫu nhiên, có vẻ như một thuật toán tham lam đơn giản sẽ khám phá ra các giải pháp khi chúng tồn tại và thất bại chính xác khi chúng không xảy ra - nhưng tôi gặp khó khăn khi chứng minh nó.

4 n - 1 \geq A_{n}, 8 n - 6 \geq A_{n - 1} + A_{n}

$4n-1 \geq A_n, 8n-6 \geq A_{n-1}+A_{n}$

— torquestomp

@torquestomp: Bạn đang nâng cao điểm tốt. Trên thực tế, các giới hạn từ một hướng cũng ngụ ý các giới hạn từ hướng khác, nhưng điều đó không rõ ràng ngay từ cái nhìn đầu tiên. Tôi đã xem xét một vấn đề tương tự, và không thể tìm ra một thuật toán đơn giản (nhưng nó cũng đối với tôi như sự tương tự của các tiêu chí này thực sự là đủ).

— Peter Shor

Đây là một vấn đề phù hợp và do đó có thể được giải quyết bằng thuật toán của Edmond. Xem wikipedia

— Sẽ
nguồn

Ý tưởng của Stackexchange là có một câu hỏi và trả lời đầy đủ nhất có thể. Bạn có thể mở rộng câu trả lời của bạn không chỉ là một liên kết đến wikipedia không?

— Luke Mathieson

Bạn có thể xây dựng? Tôi không biết làm thế nào tôi có thể sử dụng thuật toán đó để giải quyết câu hỏi của mình.

— gprime

Trên thực tế, với tôi nó giống như một trường hợp đặc biệt của 3 kết hợp, đó là NP-perfect. Điều này không có nghĩa là vấn đề OP đã hoàn thành NP.

— Peter Shor

Nó có thể là một kết hợp lưỡng cực? Tôi sẽ xem xét kết hợp 3 để xem liệu tôi có thể tìm ra nó không. Cảm ơn!

— gprime