Lưới được sử dụng để làm gì?

Wikipedia nói :

Mạng hoàn chỉnh xuất hiện trong nhiều ứng dụng trong toán học và khoa học máy tính

Có phải nó chỉ đề cập đến thực tế là đại số Boolean tiêu chuẩn được sử dụng trong tính toán là một mạng hoàn chỉnh? Có bất cứ điều gì chúng ta đạt được bằng cách làm việc ở cấp độ trừu tượng của mạng thay vì với logic Boolean cụ thể không?

Một tìm kiếm google không tìm thấy nhiều về chủ đề này, nhưng có lẽ tôi đang sử dụng các từ khóa sai.

Xem ví dụ cuốn sách này: Lý thuyết mạng với các ứng dụng, Vijay K. Garg , bắt đầu như sau:

Trật tự từng phần và lý thuyết mạng tinh thể hiện đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành khoa học máy tính và kỹ thuật. Ví dụ, họ có các ứng dụng trong điện toán phân tán (đồng hồ vector, phát hiện vị ngữ toàn cầu), lý thuyết đồng thời (pomsets, lưới xảy ra), ngữ nghĩa ngôn ngữ lập trình (ngữ nghĩa điểm cố định) và khai thác dữ liệu (phân tích khái niệm). Chúng cũng hữu ích trong các ngành toán học khác như tổ hợp, lý thuyết số và lý thuyết nhóm. Trong cuốn sách này, tôi giới thiệu các kết quả quan trọng trong lý thuyết thứ tự từng phần cùng với các ứng dụng của chúng trong khoa học máy tính. Sự thiên vị của cuốn sách là về các khía cạnh tính toán của lý thuyết mạng (thuật toán) và trên các ứng dụng (đặc biệt là các hệ thống phân tán).

Cuốn sách dường như không đề cập đến lý thuyết đệ quy (lý thuyết về các bộ tính toán), nhưng từ bài viết của Wikipedia về lý thuyết tính toán , chúng ta thấy:

Khi Post định nghĩa khái niệm tập đơn giản là tập hợp lại với phần bù vô hạn không chứa tập hợp vô hạn nào, anh ta bắt đầu nghiên cứu cấu trúc của tập hợp đệ quy dưới dạng bao gồm đệ quy. Mạng tinh thể này đã trở thành một cấu trúc được nghiên cứu kỹ lưỡng. Các tập đệ quy có thể được định nghĩa trong cấu trúc này bởi kết quả cơ bản rằng một tập hợp được đệ quy khi và chỉ khi tập hợp và phần bù của nó đều được liệt kê đệ quy. Các tập hợp lại vô hạn luôn có các tập con đệ quy vô hạn; nhưng mặt khác, các tập đơn giản tồn tại nhưng không có superset đệ quy coinfinite. Post (1944) đã giới thiệu các bộ siêu cường và hyperhypersimple; các tập hợp cực đại sau này được xây dựng là các tập hợp lại sao cho mọi tập hợp lại là một biến thể hữu hạn của tập tối đa đã cho hoặc là đồng hữu hạn. Bài đăng' Động lực ban đầu trong nghiên cứu của mạng này là tìm ra một khái niệm cấu trúc sao cho mọi tập hợp thỏa mãn tính chất này không nằm ở mức độ Turing của các tập đệ quy cũng như mức độ Turing của vấn đề tạm dừng. Thay vào đó, Post không tìm thấy một tài sản như vậy và giải pháp cho vấn đề của ông được áp dụng các phương pháp ưu tiên; Harrington và Soare (1991) cuối cùng đã tìm thấy một tài sản như vậy.

Đọc thêm, xem bài đăng trên blog Lattice Theory dành cho lập trình viên và các nhà khoa học không sử dụng máy tính .

Các tài liệu tham khảo được đưa ra bởi Pål GD thực sự rất thích hợp. Vì vậy, hãy tập trung vào một vấn đề phụ trong câu trả lời này. Tôi đã thực hiện một số đọc trên mạng một thời gian trước đây và bắt đầu tự hỏi liệu khái niệm bán nguyệt sẽ không phù hợp hơn cho các ứng dụng. Bạn có thể phản đối rằng một mạng bán hoàn chỉnh cũng tự động cũng là một mạng, nhưng cấu trúc đồng cấu và cấu trúc con (tức là mạng con và mạng con) là khác nhau.

Lần đầu tiên tôi bắt gặp (nửa) mạng khi nghiên cứu các nhóm bán kết, như các nhóm bán kết tự do giao hoán. Sau đó, tôi nghĩ về mối quan hệ giữa các cấu trúc phân cấp và mạng tinh thể, và nhận thấy rằng một cái cây tự nhiên cũng là một bán nguyệt. Sau đó, tôi tìm thấy các mạng trong bối cảnh bảo mật và trong phân tích chương trình, và dường như tôi luôn thấy cấu trúc bán kết là phần thực sự quan trọng, và mạng được lấy vì nó có thể được "miễn phí". Ngay cả đối với đại số Heyting, có một sự bất đối xứng giữa kết hợp và phân biệt gợi ý cho tôi rằng mô hình bán nguyệt không đối xứng có thể cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn ở đây so với mô hình mạng đối xứng.

một trường hợp rất quan trọng, nhưng không nổi tiếng, nó được các nhà lý thuyết biết đến nhưng không được biết đến nhiều trong ý nghĩa được dạy để nâng cao việc sử dụng mạng tinh thể là để chứng minh các giới hạn siêu thấp trên kích thước của các mạch đơn điệu điện toán Clique mà Razborov đã giành giải thưởng Nevanlinna . tuy nhiên, việc xây dựng ban đầu là rất kỹ thuật và các công trình xây dựng sau này, ví dụ Berg / Ulfberg đơn giản hóa khung mà không cần tham chiếu đến các mạng.

Vì vậy, trong trường hợp này, lý thuyết mạng đã được sử dụng như một khung để khám phá bằng chứng ban đầu nhưng các công thức sau này có xu hướng không đề cập trực tiếp đến nó như là một đơn giản hóa khái niệm.

vì vậy, các mạng có thể được coi là một đối tượng toán học kỳ lạ hơn [Razborov đã nói ở nơi khác về phong cách áp dụng toán học tiên tiến của mình vào CS] có thể tương ứng với một số đối tượng "cụ thể" khác trong CS, trong trường hợp này là "cổng xấp xỉ" tức là các cổng boolean trong các mạch cho câu trả lời "gần đúng" và mạng tinh thể là một loại "cấu trúc cảm ứng" để chuyển đổi giữa một mạch chính xác thành một mạch gần đúng, không chính xác.

Kể từ đó, tôi đã tìm thấy các bộ giấy đặt hàng miễn phí và các mạng hoàn chỉnh: Một nền tảng cho khoa học máy tính , cho các độc giả quan tâm khác.

Ghi nhãn cạnh thông thường và các cấu trúc liên quan tạo thành một mạng phân phối (xem ví dụ ở đây ). Điều này có thể được khai thác để tìm kiếm hiệu quả thông qua không gian của tất cả các nhãn cạnh thông thường cho một biểu đồ nhất định (xem tại đây ). Là một ứng dụng, bạn có thể xác định xem bản đồ có thể được vẽ dưới dạng bản đồ với sự phân công khu vực nhất định cho các mặt hay không.

Ngoài ra, đáng ngạc nhiên (đối với tôi, ít nhất) mật mã . Kiểm tra xem, nó cho phép các cuộc tấn công mới của các hệ thống mật mã đã biết và mang lại hy vọng cho tiền mã hóa sau lượng tử.