Làm thế nào để xác định máy Turing lượng tử?

52

Trong tính toán lượng tử, mô hình tương đương của máy Turing là gì? Tôi khá rõ ràng về cách thức các mạch lượng tử có thể được xây dựng từ các cổng lượng tử, nhưng làm thế nào chúng ta có thể định nghĩa một máy Turing lượng tử (QTM) thực sự có thể hưởng lợi từ các hiệu ứng lượng tử, cụ thể là, thực hiện trên các hệ chiều cao?

quantum-computing turing-machines computation-models

— Ran G.
nguồn

9

Bài giảng này từ Berkeley đưa ra một câu trả lời. www.eecs.ber siêu.edu / ~ vazirani / f97qcom / lec19.ps

— Mohammad Al-Turkistany

1

Trên thực tế mô hình mạch lượng tử và máy turing lượng tử là tương đương, điều này đã được ACYao chứng minh.

— Strin

30

^{( lưu ý : phần giải thích đầy đủ hơi phức tạp và có một số điểm tinh tế mà tôi muốn bỏ qua. Sau đây chỉ là các ý tưởng cấp cao cho mô hình QTM)}

Khi định nghĩa máy Lượng tử (QTM), người ta muốn có một mô hình đơn giản, tương tự như TM cổ điển (nghĩa là máy trạng thái hữu hạn cộng với băng vô hạn), nhưng cho phép mô hình mới lợi thế của cơ học lượng tử.

Tương tự như mô hình cổ điển, QTM có:

$Q=\{q_0,q_1,..\}$ - một tập hợp trạng thái hữu hạn. Đặt $q_0$ là trạng thái ban đầu.
$\Sigma=\{\sigma_0,\sigma_1,...\}$ , $\Gamma=\{\gamma_0,..\}$ - bộ bảng chữ cái đầu vào / làm việc
một băng vô hạn và một "đầu" duy nhất.

Tuy nhiên, khi xác định hàm chuyển đổi, người ta nên nhớ rằng bất kỳ tính toán lượng tử nào cũng phải có thể đảo ngược . Hãy nhớ rằng một cấu hình của TM là tuple biểu thị rằng TM ở trạng thái , băng chứa và đầu chỉ vào ô thứ của cuộn băng. $C=(q,T,i)$ $q\in Q$ $T\in \Gamma^*$ $i$

Vì tại bất kỳ thời điểm nào, băng chỉ bao gồm một lượng hữu hạn các ô không trống, chúng tôi xác định trạng thái (lượng tử) của QTM là một vectơ đơn vị trong không gian Hilbert được tạo bởi không gian cấu hình . Cấu hình cụ thể được biểu diễn dưới dạng trạng thái_{(nhận xét: Do đó, mọi ô trong băng là}_{không gian Hilbert có kích}_thước_.) $\mathcal{H}$ $Q\times\Sigma^*\times \mathrm{Z}$ $C=(q,T,i)$

| C ⟩ = | q ⟩ | T ⟩ | i ⟩ .

$|C\rangle = |q\rangle |T\rangle |i\rangle.$ _$\Gamma$

QTM được khởi tạo ở trạng thái , trong đó là nối của đầu vào với nhiều "khoảng trống" khi cần thiết (có một sự tinh tế ở đây để xác định độ dài tối đa, nhưng tôi bỏ qua nó). $|\psi(0)\rangle = |q_0\rangle |T_0\rangle |1\rangle$ $T_0\in \Gamma^*$ $x\in\Sigma^*$

Ở mỗi bước, trạng thái của QTM phát triển theo một số đơn vị $U$

| ψ (i + 1) ⟩ = U | ψ (i) ⟩

$|\psi(i+1)\rangle = U|\psi(i)\rangle$

Lưu ý rằng trạng thái bất cứ lúc nào được đưa ra bởi . có thể được bất kỳ đơn nhất rằng "thay đổi" băng duy nhất mà người đứng đầu nằm và di chuyển người đứng đầu một bước sang bên phải hoặc sang trái. Đó là, bằng 0 trừ khi và khác ở vị trí . $n$ $|\psi(n)\rangle = U^n|\psi(0)\rangle$ $U$ $\langle q',T',i'|U|q,T,i\rangle$ $i'= i \pm 1$ $T'$ $T$ $i$

Vào cuối quá trình tính toán (khi QTM đạt đến trạng thái ) băng đang được đo (sử dụng, giả sử, cơ sở tính toán). $q_f$

Điều thú vị cần chú ý là mỗi "bước" trạng thái của QTM là sự chồng chất của các cấu hình có thể, điều này mang lại cho QTM lợi thế "lượng tử".

Câu trả lời dựa trên Masanao Ozawa, về vấn đề tạm dừng đối với máy Turing lượng tử . Xem thêm David Deutsch, lý thuyết lượng tử, nguyên lý Church-Turing và máy tính lượng tử phổ quát .

— Ran G.
nguồn

7

Tôi không chắc định nghĩa ban đầu của David Deutsch đã đúng mọi thứ ... đây là lần đầu tiên bất kỳ ai cố gắng định nghĩa nó, và phải mất một số tinh chỉnh để tìm ra định nghĩa chính xác về mặt toán học.

— Peter Shor

7

Như các ghi chú chỉ ra, cách để xác định QTM là xác định hàm chuyển đổi là một biến đổi đơn nhất của trạng thái và chữ cái. Vì vậy, trong mỗi bước, bạn tưởng tượng nhân vectơ (trạng thái, chữ cái) bằng một phép biến đổi để có một (trạng thái, chữ cái) mới. Nó không đặc biệt thuận tiện, nhưng nó có thể được xác định.

— Suresh
nguồn