Công thức đa giác lồi

Chúng tôi có một danh sách sắp xếp các độ dài bên có thể được sử dụng để tạo thành một đa giác. Có giá trị như vậy ( ).$n$$n \le 1000$

Bây giờ chúng ta cần tìm xem chúng ta có thể sử dụng bất kỳ 10 giá trị nào trong số này để tạo thành một đa giác lồi không suy biến hay không.

Làm thế nào để chúng ta tiếp cận điều này? Bất cứ điều gì theo thứ tự đều được chấp nhận. Tốt hơn nếu có thể. Tôi cần ý tưởng chung về cách tiến hành, các thuộc tính của đa giác lồi có thể được khai thác ở đây, v.v.$O(n^2 \log n)$

Định lý 1. Với mọi đa giác có chuỗi độ dài cạnh$a_1,\ldots,a_m$, tồn tại một đa giác lồi có trình tự chiều dài cạnh.

Bằng chứng. Đây .

Định nghĩa. $a_1,\ldots,a_n$ là $n$thực không âm. Nó đáp ứng (nghiêm ngặt)$n$bất đẳng thức đường chéo nếu$2a_j < \sum_{i=1}^n a_i$ cho tất cả $j$.

Định lý 2. Trình tự$a_1,\ldots,a_n$ là một chuỗi độ dài cạnh cho đa giác nếu nó thỏa mãn $n$bất đẳng thức đường chéo.

Bằng chứng. Đây . (lưu ý bằng chứng ở đây yêu cầu toán nâng cao và cũng chứng minh Định lý 1)

Vấn đề giảm xuống:

Đưa ra một chuỗi $n$ thực tế không tiêu cực, tìm một $k$ phần tử tiếp theo thỏa mãn $k$bất đẳng thức đường chéo.

Một thuật toán đơn giản: Kiểm tra xem $a_i,\ldots,a_{i+k-1}$ là một giải pháp cho mọi $1 \leq i\leq n-k+1$. Nếu không ai trong số họ làm việc, thì không có giải pháp.

Bằng chứng. Nếu chúng ta có bất kỳ giải pháp$a_{i_1},\ldots,a_{i_k}$, tìm lớn nhất $j$, như vậy mà $a_{i_{j+1}}-a_{i_j}>1$, (tức là có một khoảng cách). Nếu không có khoảng cách như vậy thì chúng ta đã xong. Nếu có, thì$a_{i_2},\ldots,a_{i_{j}},a_{i_{j+1}-1},a_{i_{j+1}},\ldots,a_{i_k}$cũng là một giải pháp. (theo trực giác, chúng tôi đã sử dụng phần tử lớn nhất trong khoảng trống và loại bỏ phần tử nhỏ nhất). Chúng ta có thể lặp lại bước này (nhiều nhất là$k-1$lần) và điền vào tất cả các khoảng trống. Cuối cùng, chúng tôi đã tạo ra một giải pháp của mẫu$a_{i_k}-k+1,a_{i_k}-k,\ldots,a_{i_k}-1,a_{i_k}$ cho một số $i$.

Thuật toán có thể được thực hiện một cách ngây thơ trong $O(kn)$thời gian. Có lẽ có một cách thông minh hơn để làm điều đó.

Một câu hỏi tiếp theo thú vị:

Đưa ra một chuỗi $n$ thực không âm, tìm chuỗi dài nhất $S$, sao cho mỗi $k$ phần tử sau của $S$ thỏa mãn $k$bất đẳng thức đường chéo .