Đa giác thoái hóa là gì?

9

Đa giác thoái hóa là gì? Làm thế nào để kiểm tra xem một cặp đa giác đã cho có bị thoái hóa hay không?

algorithms computational-geometry

— Alice
nguồn

2

Bối cảnh? Tôi không tin "đa giác thoái hóa" có định nghĩa chuẩn.

— Peter Shor

Nếu tôi có hai đa giác lồi, làm thế nào sẽ bị thoái hóa? nếu họ chia sẻ một mặt chung hoặc nếu họ chồng chéo? hay không? hoặc cả hai?

— Alice

1

Tôi đoán rằng đây là những đa giác trong đó hai đỉnh liền kề giống nhau.

— Yuval Filmus

9

Một đa giác bị suy biến nếu một số đỉnh của nó nằm trên nhau. ví dụ tam giác (0,0), (0,1), (0,0) bị suy biến. Nó có 3 mặt và 3 đỉnh, nhưng hai đỉnh lặp lại. Có thể lặp lại một đỉnh nhiều lần (ví dụ (0,0), (0,0), (0,0) là một tam giác suy biến khác). Theo định nghĩa, kiểm tra xem một đa giác có bị thoái hóa hay không là dễ dàng.

Nhưng những công dụng của đa giác thoái hóa là gì? Một ứng dụng từ tăng tốc đồ họa (bản vẽ 3D) như sau:

Trong các bản vẽ 3D, GPU thường sử dụng hình tam giác để hiển thị hình ảnh. Lý do (đơn giản) để sử dụng các hình tam giác là vì chúng là các đối tượng 2D đơn giản nhất có thể nên không cần nhiều phần cứng.

Nếu chúng ta muốn vẽ một hình ảnh 3D phức tạp, bằng giới hạn GPU này, chúng ta phải phân tách nó thành nhiều hình tam giác. Nhưng nếu chúng ta gọi GPU để hiển thị riêng từng tam giác thì sẽ rất chậm (vì số lượng cuộc gọi). Vì vậy, dải tam giác được sử dụng để giảm số lượng cuộc gọi đến GPU. Một lời giải thích tốt về các dải tam giác có thể được tìm thấy trên Tài liệu của Microsoft: Dải tam giác , bạn cũng có thể xem wiki cho: Dải tam giác .

Nhưng vấn đề phát sinh khi chúng ta muốn vẽ hai đối tượng riêng biệt trong một dải. Trong trường hợp này tam giác thoái hóa giúp. GPU có thể phát hiện các hình tam giác suy biến và bỏ qua bản vẽ của chúng. Vì vậy, chúng ta có thể kết nối hai dải riêng biệt với một tam giác suy biến.

$n$

— Logic lang thang
nguồn

1

Bạn có thể làm rõ nếu suy biến có nghĩa là chỉ các đỉnh bằng nhau liền kề , hoặc nếu định nghĩa bao gồm các đỉnh bằng nhau không liền kề? (Một câu hỏi chân thành, không chỉ cố gắng cải thiện câu trả lời)

— Erik Hermansen

0

Một đa giác suy biến là một đa giác có diện tích bằng không.

— Gabriel Rohweder
nguồn

Nếu câu trả lời của user742 là đúng thì điều này sẽ không đúng. Lấy một hình vuông. Nếu hai và chỉ hai đỉnh giống nhau thì đó là một hình tam giác và do đó diện tích là> 0.

— HankCa

và bạn đã làm rõ điều này. một tam giác không suy biến.

— Gabriel Rohweder

0

Như những người khác đã lưu ý, nó phụ thuộc. Nói chung, một đa giác là không suy biến nếu nó không có điểm bất thường, nhưng điều này chỉ đẩy vấn đề trở lại một bước; "dị thường" là gì?

Câu trả lời thực sự là một đa giác bị suy biến nếu nó vi phạm đặc điểm kỹ thuật. Câu trả lời hơi thô lỗ là một đa giác bị suy biến nếu đó là trường hợp cạnh mà thuật toán của bạn không thể xử lý.

Đây là một ví dụ từ thế giới của GIS. Các OGC đơn giản Tính năng Đặc điểm kỹ thuật có một định nghĩa rất cẩn thận về những gì làm cho một đa giác "hợp lệ". Trích dẫn từ Mục 6.1.11.1:

Các xác nhận cho Đa giác (quy tắc xác định Đa giác hợp lệ) như sau:

a) Đa giác được đóng theo cấu trúc liên kết;

b) Ranh giới của Đa giác bao gồm một tập hợp tuyến tính tạo nên ranh giới bên ngoài và bên trong của nó;

c) Không có hai Nhẫn trong đường chéo biên và Nhẫn trong ranh giới của Đa giác có thể giao nhau tại một Điểm nhưng chỉ là một tiếp tuyến, ví dụ:
$\begin{aligned} \forall P \in Đa giác, \forall c_{1}, c_{2} \in P.Bnary, c_{1} \neq c_{2}, \\ \forall p, q \in Điểm, p, q \in c_{1}, p \neq q, \\ [p \in c_{2}] \Rightarrow [\exists δ > 0 | [| p - q | < δ] \Rightarrow [q \notin c_{2}]] \end{aligned}$ $\begin{align*} & \forall P \in \hbox{Polygon}, \forall c_1, c_2 \in \hbox{P.Boundary}, c_1 \ne c_2,\\ & \forall p, q \in \hbox{Point},\,p,q \in c_1, p \ne q,\\ & \left[ p \in c_2 \right] \Rightarrow \left[ \exists \delta > 0 | \left[\left|p-q\right|<\delta\right]\ \Rightarrow \left[ q \not\in c_2 \right] \right] \end{align*}$

Lưu ý: Điều kiện cuối cùng này nói rằng tại một điểm chung của hai đường cong, các điểm gần đó không thể phổ biến. Điều này buộc mỗi điểm chung là một điểm tiếp tuyến.

$\forall P \in \hbox{Polygon}, P = \hbox{P.Interior.Closure}$

e) Phần bên trong của mỗi Đa giác là một tập hợp điểm được kết nối;

f) Bề ngoài của Đa giác có 1 hoặc nhiều lỗ không được kết nối. Mỗi lỗ xác định một thành phần kết nối của bên ngoài.

Trong các khẳng định trên, nội thất, đóng cửa và ngoại thất có các định nghĩa tô pô tiêu chuẩn. Sự kết hợp của (a) và (c) làm cho Đa giác trở thành một điểm đóng thường xuyên.

— Bút danh
nguồn