Sử dụng số lượng hoán đổi tối thiểu để mỗi thùng chứa các quả bóng cùng màu

Có thùng, thùng thứ i chứa một quả bóng i . Những quả bóng có n màu sắc, có một i bóng của màu sắc i . Hãy m = Σ n i = 1 một i .$n$$i$$a_i$$n$$a_i$$i$$m=\sum_{i=1}^n a_i$

Một trao đổi là lấy một quả bóng từ một thùng và trao đổi với một quả bóng từ một thùng khác. Chúng tôi muốn số lượng giao dịch hoán đổi tối thiểu sao cho mỗi thùng chỉ chứa các quả bóng có cùng màu.

Tôi biết một trường hợp đặc biệt dễ dàng cho tất cả i . (Nếu a i = 2 cho tất cả i , thì bạn thậm chí có thể làm điều đó bằng cách hoán đổi từng quả bóng nhiều nhất một lần.)$a_i\leq 2$$i$$a_i=2$$i$

Chỉnh sửa : Điều này sai vì tìm là NP-hard.$c(D)$

Nếu chúng ta biết màu nào đi vào thùng nào, vấn đề là dễ dàng.

Hãy xem xét một đa digraph , V = { v 1 , ... , v n } . Nếu chúng ta biết màu tôi đi đến bin b ( i ) , thì có k cung song song ( j , b ( i ) ) trong A iff bin j chứa k bóng màu $D=(V,A)$$V=\{v_1,\ldots,v_n\}$$i$$b(i)$$k$$(j,b(i))$$A$$j$$k$$i$. Mỗi thành phần của đồ thị là Euler. Số lượng tối thiểu của giao dịch hoán đổi yêu cầu là , nơi c ( D ) là số chu kỳ rời nhau arc bao gồm Một . Chúng ta có thể trao đổi bằng cách "theo dõi" một mạch Euler. (một trao đổi sử dụng một vòng cung của một chu kỳ tối thiểu có thể thay đổi nó thành một chu kỳ tối thiểu nhỏ hơn và một vòng lặp tự). Khi toàn bộ biểu đồ được thiết lập các vòng lặp tự, chúng tôi đã thực hiện tất cả các giao dịch hoán đổi cần thiết.$m-c(D)$$c(D)$$A$

Vấn đề này nói chung khó đến mức nào?

Phân rã tối đa một đồ thị hướng Euler thành các chu kỳ tách rời cạnh là NP-Hard, ít nhất là theo cuốn sách này: Thuật toán và ứng dụng: Các tiểu luận dành riêng cho Esko Ukkonen nhân dịp sinh nhật lần thứ 60 của ông .

btw, đây là một bài viết có liên quan đến vấn đề mà bạn dường như đang cố gắng giải quyết: Thuật toán tối ưu không có triệu chứng cho thuật toán cờ quốc gia Hà Lan .

$n \le 6$