Tại sao tối thiểu hóa NFA là một vấn đề khó khăn khi tối thiểu hóa DFA không phải là?

14

Tôi biết rằng chúng ta có thể giảm thiểu DFA bằng cách tìm và hợp nhất các trạng thái tương đương, nhưng tại sao chúng ta không thể làm như vậy với NFA? Tôi không tìm kiếm một bằng chứng hay bất cứ điều gì tương tự - trừ khi bằng chứng đơn giản hơn để hiểu. Tôi chỉ muốn hiểu một cách trực giác tại sao tối thiểu hóa NFA lại khó khăn như vậy khi tối thiểu hóa DFA không.

complexity-theory finite-automata nondeterminism

— Duncan
nguồn

8

Đối với DFA có một cấu trúc đại số đẹp xác định trạng thái nào có thể tương đương, tương đương Myhill-Nerode trên chuỗi có liên quan đến việc giảm thiểu DFA.

Đối với NFA, tình hình rất phức tạp vì không có NFA tối thiểu duy nhất nói chung.

Dưới đây là một ví dụ cho ngôn ngữ hữu hạn . Hai automata đều tối thiểu. Ví dụ là từ bài báo Một lưu ý về automata không xác định tối thiểu của Arnold, Dicky và Nivat. $\{ ab, ac, bc, ba, ca, cb\}$

hai NFA cho cùng một ngôn ngữ

Câu trả lời này cố gắng thể hiện thực tế là hai vấn đề "khác nhau" về mặt kỹ thuật. Xem câu trả lời của vzn để biết chi tiết các vấn đề khác nhau về độ phức tạp tính toán.

— Hendrik Jan
nguồn

8

Cả vấn đề đường đi ngắn nhất cũng như cây kéo dài tối thiểu (luôn luôn) có các giải pháp duy nhất, nhưng chúng vẫn có thể giải quyết được một cách hiệu quả.

— Raphael

5

Bạn hỏi về một mất trực quan.

Trong DFA, mọi tiền tố đầu vào đã cho chỉ có thể đạt tối đa một trạng thái. Sau đó, người ta có thể hợp nhất các cặp trạng thái không thể phân biệt cho bất kỳ hậu tố nào. Các trạng thái có thể được phân biệt bằng một số hậu tố không thể được hợp nhất. Điều này dẫn đến một máy tự động tối thiểu có cấu trúc đồng nhất với tất cả các máy tự động tối thiểu khác.

$pq$ $p$ $P$ $P$ $q$ $Q$ $P$ $q$ $P$ $Q$

$n$ $2^n$

— Salamás Salamon
nguồn

1

$O(ns \log n)$

xem thêm câu hỏi TCS.se này tính toán NFA tối thiểu cho DFA

— vzn
nguồn

Tôi không biết làm thế nào để xác định khó khăn, nhưng tôi có nghĩa là không có thuật toán hiệu quả để giải quyết nó.

— Duncan

@duncan ok, vậy thì bạn đã sử dụng từ này theo nghĩa kỹ thuật. vì vậy có một số làm rõ về độ cứng kỹ thuật. trong CS, "hiệu quả" cũng là một thuật ngữ kỹ thuật được lấy / định nghĩa giống như PTime. Vì vậy, câu hỏi của bạn thực sự có liên quan đến một câu hỏi mở quan trọng trong TCS, người ta nghi ngờ / công thức rộng rãi rằng giảm thiểu NFA (cùng với tất cả các vấn đề hoàn chỉnh của PSpace) thực sự là "khó", tức là không phải ở P, nhưng chưa được chứng minh.

— vzn