Tại sao thuyết tương đối hóa là một rào cản?

Khi tôi đang giải thích bằng chứng Baker-Gill-Solovay rằng có tồn tại một lời sấm mà chúng ta có thể có, và một lời sấm truyền mà chúng ta có thể đưa P ≠ N P cho một người bạn, một câu hỏi được đặt ra là tại sao những kỹ thuật như vậy không phù hợp để chứng minh vấn đề P ≠ N P và tôi không thể đưa ra câu trả lời thỏa đáng.$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Nói một cách cụ thể hơn, nếu tôi có một cách tiếp cận để chứng minh và nếu tôi có thể xây dựng các phép lạ để làm cho một tình huống như trên xảy ra, tại sao nó làm cho phương pháp của tôi không hợp lệ?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Bất kỳ giải thích / suy nghĩ về chủ đề này?

Nói một cách cụ thể hơn, nếu tôi có một cách tiếp cận để chứng minh P ≠ NP và nếu tôi có thể xây dựng các phép lạ để làm cho một tình huống như trên xảy ra, tại sao nó làm cho phương pháp của tôi không hợp lệ?

Lưu ý rằng những thứ sau nếu if không phải là một điều kiện, bởi vì Baker, Gill và Solovay đã xây dựng một nhà tiên tri như vậy. Nó chỉ là một sự thật toán học rằng (1) tồn tại một nhà tiên tri liên quan đến P = NP và (2) tồn tại một nhà tiên tri liên quan đến P ≠ NP.

Điều này có nghĩa rằng nếu bạn có một cách tiếp cận để chứng minh NP ≠ P và các bằng chứng tương tự sẽ không kém phần chứng minh một kết quả mạnh hơn “P ^Một ≠ NP ^Một cho tất cả thầy mo Một ”, sau đó cách tiếp cận của bạn được cam chịu thất bại bởi vì nó sẽ mâu thuẫn với (1).

Nói cách khác, có một số khác biệt cơ bản giữa việc chứng minh P ≠ NP và chứng minh, ví dụ như định lý phân cấp thời gian, bởi vì bằng chứng về sau chỉ sử dụng đường chéo và có thể áp dụng như nhau cho bất kỳ thế giới tương đối nào.

Tất nhiên, điều này không có nghĩa là không có bằng chứng cho P ≠ NP. Một bằng chứng như vậy (nếu có tồn tại) phải không chứng minh được kết quả mạnh hơn được đề cập ở trên. Nói cách khác, một số phần của bằng chứng phải phân biệt thế giới không tương đối với thế giới tương đối tùy ý.

Đã có câu trả lời tốt, nhưng tôi muốn thêm một vài điểm nhỏ.

Giả sử rằng chúng ta có một kỹ thuật để giải quyết các vấn đề, ví dụ như đường chéo . Giả sử rằng chúng ta muốn chứng minh rằng kỹ thuật này không thể giải quyết một vấn đề cụ thể ví dụ như vs N $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$ . Làm thế nào có thể được hiển thị này?

Trước khi đi xa hơn, lưu ý rằng một kỹ thuật như đường chéo không phải là một khái niệm chính thức ở đây (mặc dù chúng ta có thể làm cho nó như vậy). Ngoài ra, thực tế là kỹ thuật không thể tự giải quyết vấn đề không có nghĩa là nó không hữu ích trong việc giải quyết vấn đề, chúng tôi có thể sửa đổi và / hoặc kết hợp nó với các kỹ thuật khác để giải quyết vấn đề.

$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP^A}$$\mathsf{P^A}$$A$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Điểm cốt yếu trong lập luận này là một loại nguyên tắc chuyển nhượng :

chúng ta có thể chuyển một đối số đường chéo cho các TM mà không có lời tiên tri đến các TM có phép lạ.

Điều này có thể xảy ra ở đây bởi vì các đối số đường chéo dựa trên mô phỏng máy móc, hơn nữa mô phỏng không phụ thuộc vào bên trong của máy mà chỉ phụ thuộc vào câu trả lời cuối cùng từ các mô phỏng này. Loại đường chéo này được gọi là đường chéo đơn giản . Trong một mô phỏng không quan trọng là máy hoạt động như thế nào, chúng tôi chỉ quan tâm câu trả lời cuối cùng của máy. Thêm một lời tiên tri sẽ không thay đổi điều này để mô phỏng và đối số cũng sẽ hoạt động trong khuôn khổ nơi chúng ta có các nhà tiên tri.

$\mathsf{P}$$SAT$$SAT$

$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

$M$$M$$M$$M$là ví dụ đó Đây là chế độ xem hình ảnh lớn, nếu bạn muốn xem chi tiết, hãy kiểm tra giấy của Kozen.

Mùa hè:

• $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$
• $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$
• Lý do việc chuyển từ khung orory-less này sang khung với orest hoạt động là vì đường chéo đơn giản dựa trên mô phỏng TM hộp đen và không quan trọng là máy móc hoạt động như thế nào, có hay không có lời tiên tri.

Hai bài báo hay để tìm hiểu thêm về đường chéo là

• Tài liệu khảo sát "Đường chéo" của Lance Fortnow, 2001, và
• Russell Impagliazzo, Valentine Kabanets và Antonina Kolokolova, bài viết "Một phương pháp tiếp cận phương pháp giải phẫu", 2009. (Lưu ý rằng đại số là một phần mở rộng của đường chéo đơn giản .)

$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{A} \neq \mathrm{B}$$\mathrm{A} = \mathrm{B}$$\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} \neq \mathrm{B}^\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} = \mathrm{B}^\mathrm{O}$$P = NP$$P \neq NP$

Tại sao điều này là một vấn đề? Khi bằng chứng này được đưa ra, phần lớn các kỹ thuật và thủ thuật mà chúng tôi biết để phân tách hoặc thu gọn các lớp phức tạp 'tương đối hóa', trong đó chúng hoạt động liên quan đến bất kỳ lời sấm truyền nào. Ví dụ, định lý phân cấp thời gian (cũng như các phiên bản không gian và không xác định của nó) 'tương đối hóa': chúng chứng minh sự phân tách cho các lớp mà sự phân tách này tương đối hóa, và trên thực tế, chúng chứng minh kết quả mạnh mẽ hơn mà sự phân tách giữ đối với bất kỳ lời sấm truyền.

$P = NP$$P \neq NP$$P \neq NP$$\mathrm{PSPACE}$