Tìm các đỉnh cần xóa khỏi biểu đồ để có thành phần lớn nhất nhỏ nhất

Cho đồ thị , tìm đỉnh , việc loại bỏ sẽ dẫn đến một đồ thị có thành phần lớn nhất nhỏ nhất. $G = (V, E)$ $k$ $\{v^*_1,\dots,v^*_k\}$

Tôi giả sử chovà lớn thì vấn đề rất khó (NP-hard), nhưng tôi quan tâm đến các giá trị nhỏ của ( ). $n = |V|$ $k$ $k$ $k \in \{1, 2, 3, 4\}$

Với , tôi nghĩ có thể tìm đỉnh tốt nhất để loại bỏ bằng cách thực hiện tìm kiếm độ sâu đơn lẻ đầu tiên của đồ thị (nghĩa là kiểm tra các điểm khớp nối). $k = 1$ $\{v^*_1\}$

Với , có thể tìm thấy các đỉnh tốt nhất bằng cách thực hiện tìm kiếm theo chiều sâu (mỗi tìm kiếm cho biểu đồ ). Một cách tiếp cận tương tự có thể được áp dụng trong trường hợp . $k = 2$ $\{v^*_1, v^*_2\}$ $n$ $G_i = G / \{v_i\}$ $k > 2$

Tôi tự hỏi nếu có giải pháp nào tốt hơn thế.

(Liên quan: đếm số đỉnh tối thiểu mà không nhất thiết phải liệt kê chúng )

— Tâm trí
nguồn

Chà, nó khái quát hóa bìa đỉnh yêu cầu các đỉnh sao cho có thành phần lớn nhất về kích thước đơn.

S = {v_{1}, \dots, v_{k}}

$S = \{v_1, \dots, v_k\}$

G - S

$G-S$

— Pål GD

Ps., Thuật toán được tham số hóa là thuật toán FPT nếu nó chạy trong thời gian đối với một số và thuật toán là thuật toán XP nếu chạy trong thời gian .

f (k) \cdot n^{c}

$f(k) \cdot n^c$

c

$c$

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$

— Pål GD

Bạn có thể đi kèm với một số thông tin? Tôi khá quan tâm đến nền tảng của vấn đề này.

— Pål GD

Tôi đã phải đối mặt với vấn đề này trong khi tìm kiếm sơ đồ con được kết nối tối đa của hai biểu đồ. Kiểm tra các ý kiến trong câu trả lời của bạn :)

— MindaugasK

Vấn đề bạn đang mô tả được gọi là Kết nối thứ tự thành phần trong lĩnh vực đo lường tính dễ bị tổn thương của đồ thị . Phiên bản quyết định của vấn đề như sau:

Kết nối thứ tự thành phần :

Đầu vào: Đồ thị , số nguyên và $G = (V,E)$ $k$ $\ell$

Câu hỏi: Có tồn tại một tập hợp các đỉnh có kích thước tối đa sao cho kích thước của thành phần lớn nhất của nhiều nhất là ? $X \subseteq V$ $k$ $G - X$ $\ell$

Vấn đề rõ ràng là NP-đầy đủ vì nó khái quát hóa nắp đỉnh; trường hợp khi là nắp đỉnh. Do đó, vấn đề không thể được cố định tham số có thể điều chỉnh được khi được tham số hóa bởi (trừ khi ). Vấn đề cũng được gọi là -hard khi được tham số hóa bởi . Do đó, chúng ta phải sử dụng các thuật toán với thời gian chạy theo cấp số nhân theo . $\ell=1$ $\ell$ $FPT = W[1]$ $W[1]$ $k$ $k+\ell$

Câu hỏi rất thú vị. Đối với đầu vào , cách tiếp cận lực lượng vũ phu sẽ là: $G,k,\ell$

branching(G,k,l):
    Find a connected set of vertices D of G of size l+1
    if no such D exists:
            return True // no component of size > l
    for v in D:
        if branching(G-v,k-1,l):
            return True
    return False

Thuật toán chạy đúng lúc . $(\ell + 1)^k \cdot n^2$

Quan sát rằng mọi trường hợp có của vấn đề đều có treewidth và thực sự là băng thông đường dẫn nhiều nhất là . Điều này có thể được quan sát bằng cách thấy rằng việc lấy một bộ xóa có kích thước tối đa mang lại một đồ thị trong đó mọi thành phần được kết nối có kích thước tối đa . Do đó, phân tách đường dẫn hợp lệ chỉ đơn giản là xây dựng một túi cho mỗi thành phần trong và sau đó thêm tất cả vào mỗi túi. Theo sau đó, bất kỳ trường hợp có nào cũng có . $G,k,\ell$ $k+\ell$ $X$ $k$ $G-X$ $\ell$ $G-X$ $X$ $|E(G)| \leq n(k+\ell)$

Một vấn đề liên quan đã được nghiên cứu trong quá khứ dưới tên Graph Integrity hoặc Vertex Integrity để phân biệt phiên bản xóa đỉnh và phiên bản xóa cạnh:

Tính toàn vẹn của Vertex :

Đầu vào: Đồ thị , số nguyên $G = (V,E)$ $p$

Câu hỏi: Có tồn tại một tập hợp các đỉnh sao cho ? $X \subseteq V$ $|X| + \max_{D \in cc(G-X)}|D| \leq p$

Đó là, tổng số của bộ xóa và kích thước của thành phần tối đa nên được giảm thiểu. Vấn đề này cũng là NP-hard. Xem, ví dụ,

Clark, LH, Entringer, RC, Fellows, MR: Độ phức tạp tính toán của tính toàn vẹn. J. Combin. Môn Toán. Kết hợp. Tính toán 2, 179 Vang191 (1987)
Fellows, M., Stueckle, S.: Thứ tự ngâm, các đồ thị con bị cấm và sự phức tạp của tính toàn vẹn mạng. J. Combin. Môn Toán. Kết hợp. Comput 6, 23 trận32 (1989)

— Pål GD
nguồn

Chà, thực ra tôi đang làm việc với các đồ thị hóa học, đó là mặt phẳng có xác suất rất cao.

— MindaugasK

Sau đó, bạn có thể kiểm tra định lý phân tách phẳng (Lipton và Tarjan) nói rằng bạn có thể tìm thấy các dấu phân cách cân bằng .

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Pål GD

Tôi đã giải quyết vấn đề này như tôi đã đề xuất trong câu hỏi, bằng cách thực hiện -depth-lần đầu tiên tìm kiếm (một để tìm các điểm khớp nối, để tìm các cặp điểm khớp nối). Thành phần tối đa của đồ thị hóa học (phân tử), thưa thớt, thường có thể được tạo ra đủ nhỏ bằng cách xóa chỉ 1-2 nguyên tử (đỉnh) (với các trường hợp ngoại lệ hiếm). Tôi đã không tìm kiếm giải pháp tối ưu, tôi chỉ muốn 1, 2 hoặc 3 nguyên tử, việc loại bỏ sẽ 'cắt' phân tử thành các hạt nhỏ và DFS là đủ.

| V | + 1

$|V|+1$

| V |

$|V|$

— MindaugasK

Trên thực tế, vấn đề tôi nêu trong câu hỏi không chính xác là vấn đề tôi muốn giải quyết. Mỗi đỉnh cũng có trọng lượng liên quan đến nó. Vì vậy, tôi muốn chọn các đỉnh, không chỉ dẫn đến thành phần nhỏ nhất mà tổng trọng lượng cũng nhỏ.

— MindaugasK

Bản thân điều này là một vấn đề con của một vấn đề khác: tìm cấu trúc con được kết nối chung tối đa của 2 phân tử đã cho (tìm sơ đồ con cảm ứng được kết nối chung tối đa của 2 biểu đồ). Sau khi ánh xạ nguyên tử đơn từ một phân tử với tất cả các ánh xạ có thể có từ một phân tử khác, bạn có thể loại bỏ nguyên tử đó khỏi sự cân nhắc, và thật tuyệt nếu nó 'cắt' phân tử. Có lẽ tôi nên nói điều này như một câu hỏi khác.

— MindaugasK