Những gì là cần thiết cho tính toán tương tự phổ quát?

Những hoạt động cần phải được thực hiện để làm bất kỳ tính toán tương tự tùy ý ? Phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia có đủ không?

Ngoài ra, có ai biết chính xác những vấn đề có thể dễ dàng sử dụng tính toán tương tự, nhưng không phải với kỹ thuật số?

Thật không may, không có khái niệm "phổ quát" về tính phổ quát trong điện toán tương tự. Tuy nhiên, bài viết này của Delvenne đề xuất một chủ nghĩa hình thức thống nhất cho tính phổ quát trong các hệ thống động lực rời rạc (ví dụ Turing Machines) và liên tục (ví dụ phương trình vi phân) và xem xét một số hệ thống phổ quát được nghiên cứu trong tài liệu. Dưới đây là một đoạn trích từ bài viết mô tả không chính thức quy trình chứng minh tính phổ quát của một hệ thống động lực:

Nhưng hầu hết các hệ thống động học được nghiên cứu trong toán học và vật lý đều có một không gian trạng thái không thể đếm được, ví dụ, automata di động, phương trình vi phân, bản đồ tuyến tính từng phần, v.v. Ví dụ về các hệ thống đó đã được chứng minh là phổ biến. Vấn đề tạm dừng của họ được bắt chước từ máy Turing theo cách sau. Chúng tôi chọn một họ cụ thể gồm các trạng thái ban đầu và gia đình có thể đếm được của các trạng thái cuối cùng, hoặc tập hợp các trạng thái cuối cùng. Sau đó, vấn đề tạm dừng được đưa ra một trạng thái ban đầu và trạng thái / tập hợp trạng thái cuối cùng, cho dù quỹ đạo bắt đầu từ trạng thái ban đầu sẽ đạt đến trạng thái / tập hợp trạng thái cuối cùng. Các ví dụ cụ thể hơn được đưa ra trong Phần 7.

Jean-Charles Delvenne, Máy tính phổ dụng là gì?, Toán học và Tính toán ứng dụng, Tập 215, Số 4, ngày 15 tháng 10 năm 2009, Trang 1368-1374

Tôi không nghĩ câu hỏi có thể được trả lời trừ khi chúng ta có định nghĩa về loại tính toán mà chúng ta đang nói đến.

Tính phổ biến của một mô hình máy tạo ra một lớp tính toán có nghĩa là mọi tính toán trong lớp đó đều có thể được tính bằng máy. Trừ khi bạn định nghĩa lớp "tính toán tương tự tùy ý", chúng ta không thể trả lời thế nào là phổ quát wrt cho chúng.

$2^x$$\lfloor x \rfloor$$\sqrt x$

Nếu câu hỏi của bạn là nếu có những hệ thống vật lý bắt đầu từ trạng thái ban đầu sẽ đến trạng thái khác trong một thời gian và nếu điều đó luôn có thể tính toán được, thì câu trả lời phụ thuộc vào loại vật lý mà chúng ta đang nói đến, và ý nghĩa của việc thiết lập một cấu hình ban đầu và quan sát kết quả, v.v.

Nếu chúng ta chỉ nói một cách toán học về vật lý cổ điển (chúng ta có thể đặt bất kỳ cấu hình ban đầu nào thành độ chính xác vô hạn và không có bất kỳ cân nhắc nào về những thứ như năng lượng cần thiết để thiết lập cấu hình và quan sát kết quả tương tự từ quan điểm toán học) thì nó đã được biết trong một thời gian dài có các phương trình vi phân về các hàm tính toán, giải pháp của chúng không thể tính toán được, xem Marian B. Pour-El và J. Ian Richards, " Tính toán trong phân tích và vật lý ", 1989.

$n>4$

Nói chung, nếu chúng ta chỉ có thể kiểm tra sự bằng nhau của hai số thực cung cấp một hàm không phải là kiểu đánh máy thông thường liên tục về thông tin về số thực và do đó không thể được tính bằng máy Turing vì bất kỳ chức năng nào (kể cả chức năng loại cao hơn) mà máy Turing có thể tính toán là liên tục (wrt cấu trúc liên kết của thông tin).

TL; DR: Nếu bằng máy tính tương tự của Cameron, bạn có nghĩa là máy phân tích vi phân , câu trả lời là bộ cộng, đơn vị không đổi và bộ tích phân. Bournez, Campagnolo, Graça và Hainry đã chỉ ra vào năm 2006 ( in lại tường / miễn phí ) rằng một mô hình lý tưởng hóa của nó cho phép tính toán tất cả các hàm tính toán trong khung phân tích tính toán , và mô hình này chỉ cần 3 loại đơn vị này.

Chức năng siêu việt

$\sin$$\exp$$\log$

Mô hình điện toán tương tự

Như những người khác nhấn mạnh, khái niệm về tính toán phổ quát, rõ ràng đối với máy tính tương tự so với máy tính tiêu chuẩn, trong đó khái niệm tự nhiên khác nhau về khả năng tính toán trong các mô hình điện toán khác nhau được tìm thấy tương đương trong những năm 1930 (xem trang Wikipedia về Church Turing Thesis để biết chi tiết ) .

Để xác định tính phổ quát như vậy, trước tiên, người ta phải xác định một mô hình tốt cho tính toán tương tự, và đó là một nhiệm vụ khó khăn, vì mô hình nên được lý tưởng hóa và đủ tự nhiên để hữu ích, nhưng lý tưởng hóa của nó không nên mang lại sức mạnh phi thực tế cho mô hình. Một ví dụ về lý tưởng hóa tốt như vậy là băng vô hạn của máy Turing. Vấn đề với máy tính tương tự đi kèm với những con số thực có thể cho phép xây dựng những thứ không hợp lý như máy Zeno . Tuy nhiên, một số mô hình như vậy đã được đề xuất và sử dụng trong tài liệu (GPAC là chủ đề chính của câu trả lời này, nhưng tôi cố gắng hoàn thành trong danh sách dưới đây, mà không có bất kỳ siêu máy tính nào ):

• các Mục đích chung Analogue Computer (GPAC), được xác định bởi Claude E.Shannon năm 1941 ( paywalled pdf ) để mô hình phân tích khác biệt . Định nghĩa của GPAC gần đây đã được cải tiến và sức mạnh tính toán của nó đã được sửa đổi trở lên;
• máy Blum-Shub-Smale , hoạt động ở những thời điểm riêng biệt trên các số thực. Nó liên quan chặt chẽ với mô hình RAM thực thường được sử dụng trong hình học tính toán;
• $\mathbb R$
• Mạng lưới thần kinh ;
• Phân tích tính toán , xem xét các con số thực được tính toán bằng máy Turing.

Sức mạnh của mô hình GPAC

$\Gamma$$\zeta$$y(t)=\Gamma(t)$, có vẻ như trong một thời gian dài, một máy tính tương tự như vậy không phải là phổ quát, vì nó không thể tạo ra một số chức năng tính toán hợp lý, được sử dụng bởi các nhà toán học.

$f$$y(t)$$f(x)$$x$$\gamma$$\zeta$.

Bournez, Graça và Pouly sau đó đã chỉ ra vào năm 2013 rằng các máy tính tương tự này có thể mô phỏng hiệu quả một máy Turing ( tr.181 của một pdf lớn ) và, vào năm 2014, các lớp phức tạp P và NP tương đương trong mô hình này.

Sẽ hữu ích khi đề xuất rằng một hệ thống tương tự phổ quát có thể được mô hình hóa bởi một mạng lưới thần kinh vô hạn, tức là bất kỳ giá trị đầu vào / đầu ra nào của hệ thống tương tự khác có thể được sao chép phù hợp với mạng thần kinh cho một hoạt động nhất định và các hoạt động có thể được nối kết theo yêu cầu?

Trong khi tôi tự mình hình thành suy nghĩ này, một tìm kiếm tiếp theo đã cho thấy một đề xuất tương tự:

Những gì nổi lên là một luận điểm giống như Church-Turing, được áp dụng cho lĩnh vực tính toán tương tự, có mô hình mạng thần kinh thay cho máy Turing kỹ thuật số (xem tại đây ).

Có thể cho rằng tất cả những gì bạn cần là các hoạt động nguyên thủy để di chuyển giá trị từ nút này sang nút khác. Tắt vòng bít có thể cộng, trừ và chia để có tỷ lệ giữa các kết nối.

Bây giờ đối với các vấn đề khó hiểu, hãy nhìn vào nơi các mạng thần kinh đã được áp dụng thành công hoặc đang được thực hiện do được thực hiện trên một máy tính rời rạc.

(và xin lỗi nếu quan điểm gần như giáo dân của tôi về chủ đề này rõ ràng rõ ràng)