Ví dụ về một mệnh đề sai khi giả sử Loại: Loại

Trong Lý thuyết Loại nếu người ta cho phép Loại là thành viên của chính nó, nó làm cho lý thuyết không nhất quán. Tôi hiểu nó tương tự như nghịch lý của Russel trong Lý thuyết tập hợp, nhưng muốn thấy nó được thực hiện trong Lý thuyết loại. Có một ví dụ ngắn về tương đương trong Lý thuyết loại?

Các tài liệu liên quan là như sau:

Thierry Coquand Một nghịch lý mới trong lý thuyết loại (liên kết) . Ông mô tả nghịch lý của mình trong một hệ thống có phần yếu hơn

Type : Type

Nhưng điều đó có thể dễ dàng vận chuyển đến trên. Ý tưởng chính là lấy bằng chứng Reynold rằng không có mô hình hệ thống F nào trong lý thuyết tập hợp. Điều đó tiến hành bằng cách xây dựng một đại số ban đầu có dạng:

$$A\simeq (A \rightarrow \mathrm{2}) \rightarrow \mathrm{2}$$

Trong đó là một tập hợp có 2 phần tử và xuất phát mâu thuẫn bởi một đối số cardinality. Coquand cho thấy$\mathrm{2}$

1. Bạn có thể thực hiện lý do này trong lý thuyết loại trên
2. Có là một mô hình của hệ thống F trong lý thuyết đó. Điều này mang lại một mâu thuẫn.

Bài viết thứ hai là của Antonius Hurkens, và có tiêu đề Đơn giản hóa nghịch lý (liên kết) của Girard . Bằng chứng liên quan đến việc xây dựng "loại tất cả các loại có cơ sở". Tôi phải thừa nhận rằng ý tưởng chung có vẻ rõ ràng, nhưng các chi tiết khá ma quỷ.

Tôi e rằng không có mâu thuẫn đơn giản, dễ hiểu trong . Tuy nhiên, các thuật ngữ chứng minh thu được từ mâu thuẫn là tương đối dễ hiểu: chỉ một vài dòng là đủ để xác định chúng.$\mathrm{Type} : \mathrm{Type}$

Alexandre Miquel, trong luận án luận án của mình , đã chỉ ra rằng người ta có thể xây dựng một mô hình lý thuyết tập ngây thơ trong các hệ thống loại không nhất quán này bằng cách sử dụng một giải thích đồ thị nhọn của các tập hợp. Sau đó, anh ta có thể đơn giản áp dụng nghịch lý của Russel trực tiếp. Thật không may, việc xây dựng mô hình mất một chút công việc, và luận án bằng tiếng Pháp.