Công thức cho số chuỗi không lặp lại là gì?

Tôi muốn đếm số chuỗi $s$ trên bảng chữ cái hữu hạn $A$ , không chứa lặp lại và ý tôi là đối với bất kỳ chuỗi con $t$ của $s$ , $1< |t| < |s|$, không có bản sao rời rạc của $t$ trong $s$ . Đối với exapmle, hãy để $A=\{a,b\}$ . Thì $aaa$ là một trong những chuỗi tôi muốn đếm, vì đối với chuỗi con $aa$ , không có các bản sao rời rạc. Tuy nhiên, $abab$ chứa lặp lại như vậy.

Nếu ai đó đã tìm ra một công thức hữu ích, vui lòng liên kết. Mặt khác, tôi sẽ quay lại bài viết này trong bất kỳ bài viết nào tôi viết, nếu tôi sử dụng câu trả lời của ai đó.

Đây là một ví dụ khác. Hãy thử xây dựng một chuỗi dài trên $\{a,b\}$ , không chứa lặp lại:

aaa (không thể là a)
   aaab (a hoặc b)
     aaabbb (không thể là b)
       aaabbba (không thể là b hoặc a)
   aaaba (không thể là a hoặc b)

Nếu chúng ta xây dựng một cây, chúng ta có thể đếm số lượng nút, nhưng tôi muốn có một công thức.

Chỉnh sửa: Chà, nó không đáng ngại như tôi nghĩ đầu tiên nếu chúng ta chuyển đổi vấn đề này thành vấn đề chọn thùng. Một tập hợp các chuỗi có độ dài k có ít nhất một lặp lại tương đương với các thiết lập đó là sự kết hợp của tất cả các hoán vị của sản phẩm Descartes: nơi R là yêu cầu lặp lại. Tôi không biết điều đó có hữu ích không, nhưng nghe có vẻ chuyên nghiệp :) Dù sao đi nữa, hãy để họ là | A | thùng, chọn bất kỳ hai (ngay cả khi cùng một) để lặp lại, sau đó chọn k - 4 nhiều hơn và nhân (4 đầu tiên đã được chọn, xem?). Bây giờ tôi chỉ cần tìm công thức đó từ toán học rời rạc.$A \times A \times \cdots\times A \text{(k-4 times)} \times R \times R$$R$$k-4$

^{Điều này trả lời câu hỏi sau số lượng từ không lặp lại trên mỗi kích thước, ngụ ý rằng số lượng mong muốn thậm chí còn tồn tại.}

Định nghĩa: Gọi lặp lại miễn phí nếu và chỉ nếu nó không chứa một yếu tố x y x với x ∈ Σ ≥ 2 và y ∈ Σ * .$w \in \Sigma$ $xyx$$x \in \Sigma^{\geq 2}$$y \in \Sigma^*$

Yêu cầu: Cho bảng chữ cái hữu hạn đã cho với | Σ | = k , không có từ lặp lại có độ dài lớn hơn 2 k 2 + 1 .$\Sigma$$|\Sigma| = k$$2k^2 + 1$

Ý tưởng bằng chứng: Theo nguyên tắc hố bồ câu. Đi một từ có độ dài 2 k 2 + 2 (hoặc một từ dài hơn và xem xét tiền tố của nó có độ dài này), tức là w = một 0 một ' 0 ... một k 2 một ' k 2 . Giả sử w là lặp lại miễn phí; điều đó có nghĩa là a i a ′ i ≠ a j a ′ j cho tất cả i ≠ j (nếu không chúng tôi đã lặp lại). Do đó, có $w$$2k^2 + 2$$w = a_0a_0' \dots a_{k^2}a_{k^2}'$$w$$a_ia_i' \neq a_ja_j'$$i \neq j$ nhiều cặp ký hiệu; mâu thuẫn này | Σ 2 | = k 2 . Vì vậy, w không lặp lại miễn phí. $k^2 + 1$$|\Sigma^2| = k^2$$w$$\square$

Lưu ý rằng đây là một bằng chứng sơ bộ: các yếu tố có thể tạo ra sự lặp lại thậm chí sớm hơn.$a_i'a_{i+1}$

Ký hiệu:

• $\Sigma^{\geq k} = \bigcup_{i=k}^\infty \Sigma^i = \Sigma^* \setminus \bigcup_{i=0}^{k-1} \Sigma^i$
• "yếu tố" = "từ khóa" = "chuỗi con"