Sự phân chia theo cấp số nhân giữa NFA và DFA với sự có mặt của các công đoàn

Gần đây, một câu hỏi thú vị đã được hỏi và sau đó bị xóa.

Đối với ngôn ngữ thông thường , độ phức tạp DFA của nó là kích thước của DFA tối thiểu chấp nhận nó và độ phức tạp NFA của nó là kích thước của NFA tối thiểu chấp nhận nó. Người ta biết rằng có một sự phân tách theo cấp số nhân giữa hai độ phức tạp, ít nhất là khi kích thước của bảng chữ cái không bị ràng buộc. Thật vậy, hãy xem xét ngôn ngữ trên bảng chữ cái bao gồm tất cả các từ không chứa tất cả các ký hiệu. Sử dụng định lý Myhill-Nerode, thật dễ dàng để tính độ phức tạp DFA . Mặt khác, độ phức tạp NFA chỉ là (nếu nhiều trạng thái ban đầu được cho phép; nếu không thì nó là ). $L$ $L_n$ $\{1,\ldots,n\}$ $2^n$ $n$ $n+1$

Câu hỏi liên quan xóa các DFA bao gồm sự phức tạp của một ngôn ngữ, đó là tối thiểu mà có thể được viết như sau (không nhất thiết phải rời nhau) kết hợp ngôn ngữ của DFA phức tạp ở hầu hết . Độ phức tạp bao phủ DFA của chỉ là . $C$ $L$ $C$ $L_n$ $2$

Có sự phân tách theo cấp số nhân giữa độ phức tạp NFA và độ phức tạp bao phủ DFA không?

regular-languages finite-automata

— Yuval Filmus
nguồn

Xét ngôn ngữ , trong đó là ký hiệu mới. Độ phức tạp NFA của là . Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng độ phức tạp bao phủ DFA của nó là . $M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$ $\#$ $M_n$ $n$ $2^n$

Hãy là một DFA chấp nhận một số ngôn ngữ , với chức năng chuyển . Gọi trạng thái khả thi nếu có một số chữ mà là một trạng thái chấp nhận. Đối với bất kỳ hai trạng thái không suy , chúng ta hãy $A$ $L(A) \subseteq M_n$ $q_A$ $s$ $w$ $q_A(s,w)$ $s,t$ Nó không phải là khó khăn để kiểm tra xem từng chữ có thể được viết như nơi đối với một số khả thi .

{Một}_{S, t} = = {w \in (1 + \dots + n)^{*} : q_{Một} (S, w) = = t} .

$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$

w \in L (A)

$w \in L(A)$

w = w_{1} # \dots # w_{l}

$w = w_1\# \cdots \#w_l$

w_{i} \in A_{s_{i}, t_{i}}

$w_i \in A_{s_i,t_i}$

s_{i}, t_{i}

$s_i,t_i$

Giả sử rằng , trong đó mỗi là một DFA. Đặt là mạng được tạo bởi tất cả các ngôn ngữ . Chúng ta có thể xem như một ngôn ngữ qua , khoảng trống giữa bất kỳ hai biểu tượng tương ứng với . Theo quan điểm này, $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$ $A^i$ $P$ $A^i_{s,t}$ $L(A^i)$ $L_P(A^i)$ $P^*$ $\#$ $M_n$ tương ứng với . $P^*$

Gọi phổ quát nếu vì một nó là trường hợp mà cho tất cả các có mà . Chúng tôi tuyên bố rằng một số là phổ quát. khác, mỗi chứa tối đa $L_P(A^i)$ $x \in P^*$ $y \in P$ $z \in P^*$ $xyz \in L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ từ có độ dài . Tổng cộng, phải chứa tất cả từ có độ dài , do đó , bị vi phạm cho đủ lớn . $(|P|-1)^l$ $l$ $L_P(A^i)$ $|P|^l$ $l$ $|P|^l \leq N (|P|-1)^l$ $l$

Giả sử rằng là phổ quát và viết cho ngắn gọn. Hãy là tiền tố tương ứng, và để cho là một số từ tương ứng với nó. Do đó với mỗi có một số sao cho . $L_P(A^i)$ $A = A^i$ $x' \in P^*$ $x \in M_n$ $y \in L_n$ $z_y \in M_n$ $x\#y\#z_y \in L(A_i)$

$S \subseteq \{1,\ldots,n\}$ $y_S$ $S$ $x\#y_S$ $A$ $S \neq T$ $a \in S \setminus T$ $x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$ $x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$ $A$ $2^n$

— Yuval Filmus
nguồn