MST: Độ phức tạp thuật toán của Prim, tại sao không phải là

Theo CLRS, các thuật toán của Prim được triển khai như dưới đây -

$\mathtt{\text{MST-PRIM}}(G,w,r)$

• với mỗi làm$u \in V[G]$
  
  • $\mathtt{\text{key}}[u] \leftarrow \infty$
  • $\pi[u] \leftarrow \mathtt{\text{NIL}}$
• $\mathtt{\text{key}}[r] \leftarrow 0$
• $Q \leftarrow V[G]$
• trong khi làm // ... O ( V $Q \ne \emptyset$$O(V)$
  • ← EXTRACT-MIN ( u ) // ... O ( lg V $u$ $\leftarrow$ $\mathtt{\text{EXTRACT-MIN}}(u)$$O(\lg V)$
    
    • với mỗi làm // ... O ( E $v \in \mathtt{\text{adj}}[u]$$O(E)$
      
      • nếu và w ( u , v ) > khóa [ v $v \in Q$$w(u,v) \gt \mathtt{\text{key}}[v]$
        • sau đó $\pi[v] \leftarrow u$
          • // KHAI THÁC-KHÓA ... O ( lg V $\mathtt{\text{key}} \leftarrow w(u,v)$$\mathtt{\text{DECREASE-KEY}}$$O(\lg V)$

Cuốn sách nói rằng tổng độ phức tạp là . Tuy nhiên, điều tôi hiểu là vòng lặp bên trong với thao tác sẽ có giá O ( E lg V ) và vòng lặp bên ngoài bao quanh cả vòng lặp và vòng trong , do đó tổng độ phức tạp phải là O ( V ( lg V + E lg V ) ) = O $O(V \lg V + E \lg V) \approx O(E \lg V)$forDECREASE-KEY$O(E \lg V)$whileEXTRACT-MINfor .$O(V (\lg V + E \lg V)) = O(V \lg V + EV \lg V) \approx O(EV \lg V)$

Tại sao phân tích phức tạp không được thực hiện như vậy? và điều gì là sai với công thức của tôi?

Sự phức tạp có nguồn gốc như sau. Giai đoạn khởi tạo có chi phí $O(V)$ . Các $while$ vòng lặp được thực hiện $\left| V \right|$lần Các $for$ vòng lặp lồng nhau trong $while$ vòng lặp được thực hiện $degree(u)$ lần. Cuối cùng, Bổ đề bắt tay ngụ ý rằng có $\Theta(E)$ của ngầm GIẢM-KEY. Do đó, độ phức tạp là: $\Theta(V)* T_{EXTRACT-MIN} + \Theta(E) * T_{DECREASE-KEY}$ .

$T_{EXTRACT-MIN} = O(V), T_{DECREASE-KEY} = O(1)$$O(V^2)$

$T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V), T_{DECREASE-KEY} = O(\log V)$$O(E \log V)$$\left| E \right| \ge \left| V \right| - 1$$E$$V^2$

$T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V)$$T_{DECREASE-KEY} = O(1)$$O(E + V \log V)$

$V(\lg v + E\lg v)$$V(\lg v + V\lg v)$$V\lg v + V^2\lg v$$V^2$$E$$V\lg v + E\lg v = (V+E)\lg v$$V \ll E$$E\lg v$