Tại sao tất cả các vấn đề trong FPTAS cũng ở FPT?

Theo bài viết trên Wikipedia về các sơ đồ xấp xỉ thời gian đa thức :

Tất cả các vấn đề trong FPTAS đều có thể điều chỉnh tham số cố định.

Kết quả này làm tôi ngạc nhiên - những lớp học này dường như hoàn toàn khác biệt với nhau. FPTAS đặc trưng hóa các vấn đề bằng cách dễ dàng ước chừng, trong khi FPT đặc trưng hóa các vấn đề theo độ khó của chúng so với một số tham số. Thật không may, Wikipedia (tại thời điểm tôi hỏi câu hỏi này) không cung cấp một trích dẫn cho điều này.

Có bằng chứng tiêu chuẩn về kết quả này? Hoặc có một nguồn nào tôi có thể tham khảo để tìm hiểu thêm về kết nối này?

Thực sự có một kết quả mạnh mẽ hơn; Một vấn đề nằm ở lớp nếu nó có fptas ¹ : một -appro xấp xỉ chạy trong thời gian giới hạn bởi (tức là đa thức cả về kích thước và hệ số gần đúng). Có một lớp tổng quát hơn giúp thư giãn thời gian bị ràng buộc với - về cơ bản là giống như thời gian chạy đối với các yếu tố gần đúng. ε ( n + $\mathrm{FPTAS}$$\varepsilon$EPTMộtSf($(n+\frac{1}{\varepsilon})^{\mathcal{O}(1)}$$\mathrm{EPTAS}$FP$f(\frac{1}{\varepsilon})\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$$\mathrm{FPT}$

Rõ ràng là một tập hợp con của và hóa ra là một tập hợp con của theo nghĩa sau:E P T A S E P T A S F P $\mathrm{FPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{FPT}$

Định lý Nếu một vấn đề NPO có$\Pi$ eptas, thì tham số hóa bằng chi phí của giải pháp là có thể điều chỉnh tham số cố định.Π$\Pi$

Định lý và bằng chứng được đưa ra trong Flum & Grohe [1] là Định lý 1.32 (trang 23-24), và họ gán nó cho Bazgan [2], đặt nó hai năm trước kết quả yếu hơn của Cai & Chen (nhưng bằng tiếng Pháp tường trình kỹ thuật).

Tôi sẽ đưa ra một bản phác thảo bằng chứng, bởi vì tôi nghĩ đó là một bằng chứng tốt đẹp về định lý. Để đơn giản, tôi sẽ thực hiện phiên bản thu nhỏ, chỉ cần thực hiện các phép đảo ngược thích hợp để tối đa hóa.

Bằng chứng. Đặt là eptas cho , sau đó chúng ta có thể xây dựng thuật toán tham số cho tham số hóa bởi chi phí giải pháp như sau: đầu vào đã cho , chúng ta chạy trên đầu vào nơi chúng ta đặt (nghĩa là chúng tôi chọn tỷ lệ gần đúng ràng buộc ). Đặt là giải pháp, là chi phí của và là tỷ lệ gần đúng thực tế của với$A$$\Pi$$A'$$\Pi$$k$$(x,k)$$A$$x$$\varepsilon := \frac{1}{k+1}$$1+\frac{1}{k+1}$$y$$\text{cost}(x,y)$$y$$r(x,y)$$y$$\text{opt}(x)$ , tức là .$\text{cost}(x,y) = r(x,y)\cdot \text{opt}(x)$

Nếu , thì chấp nhận, như rõ ràng . Nếu , hãy từ chối dưới dạng vì là một eptas và$\text{cost}(x,y) \leq k$$\text{opt}(x) \leq \text{cost}(x,y) \leq k$$\text{cost}(x,y) > k$$r(x,y) \leq 1+\frac{1}{k+1}$$A$

Tất nhiên, bạn nhận được thời gian chạy bị ràng buộc cho chỉ đơn giản là từ là một eptas . Một $A'$$A$$\Box$

Tất nhiên, như Pål chỉ ra, kết quả độ cứng được tham số hóa ngụ ý sự không tồn tại của bất kỳ eptas nào trừ khi có sự sụp đổ, nhưng có vấn đề trong không có eptas (hoặc thậm chí ptas ), vì vậy là một tập hợp con nghiêm ngặt của (theo nghĩa của định lý).E P T A S F P $\mathrm{FPT}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{FPT}$

Chú thích:

1. Một fptas (tương đương eptas hoặc ptas ) là một sơ đồ gần đúng với thời gian chạy giới hạn như mô tả ở trên. Các lớp (equiv. , ) là tập hợp các vấn đề trong rằng có một chương trình như vậy.E P T A S P T A S N P $\mathrm{FPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{PTAS}$$\mathrm{NPO}$

[1]: J. Flum và M. Grohe, Lý thuyết phức tạp tham số hóa , Springer, 2006.
[2]: C. Bazgan. Schémas d'approimumation et Complexité paramétrée , Rapport de DEA, Đại học Paris Sud, 1995.