Hàm Scott liên tục: một định nghĩa thay thế

Tôi thực sự vật lộn với tài sản này:

Đặt là không gian kết hợp và f : C l ( X ) → C l ( Y ) là hàm đơn điệu. f là liên tục khi và chỉ khi f ( ⋃ x ∈ D x ) = ⋃ x ∈ D f ( x ) , với mọi D ⊆ C l ( X ) sao cho D là tập hợp có hướng.$X,Y$$f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$f$$f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$$D \subseteq Cl(X)$$D$

Tập hợp định hướng được xác định như vậy: POSET$D \subseteq$là một tập hợp của đạo iff ∃ z ∈ D như x ⊆ z và x ' ⊆ z . C l ( X ) là viết tắt của cụm từ X: { x ⊆ | X | | Một , b ∈ x ⇒ một mạch lạc b } .$\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$$x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

Nhiều cuốn sách cho rằng đó là định nghĩa của Scott - các chức năng liên tục , nhưng không may mắn không phải là giáo viên của tôi. Ông đã cho chúng tôi định nghĩa này liên tục:

là liên tục khi và chỉ khi nó là đơn điệu và ∀ x ∈ C l ( X ) , ∀ b ∈ f ( x ) , ∃ x 0 ⊆ f i n x , b ∈ f ( x 0 ) , nơiđơn điệuđược định nghĩa là: f là đơn điệu khi và chỉ khi một $f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$
$f$$a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

Đây là bằng chứng đề xuất mà tôi có, nhưng tôi không thể hiểu phương trình cuối cùng.

Chứng minh liên tục ngụ ý f ( ⋃ D ) = ⋃ f ( D $f$$f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$ :
Đặt . Bằng cách định nghĩa về tính liên tục, ∃ x 0 ⊂ f i n x | b ∈ f ( x 0 ) . Lưu ý rằng x 0 là liên kết của { x i ∣ x i ∈ D } .$b \in f(\bigcup D)$$\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$$x_0$$\{ x_i \mid x_i \in D\}$
Nếu là trực tiếp sau đó: ∃ z ∈ D | x i ⊆ z thì x 0 ⊆ z . Theo định nghĩa của sự đơn điệu, f ( x 0 ) ⊆ f ( z ) nên b ∈ f ( z ) (???) ⊆ ⋃ f ( D ) . Và ngay cả khi đó là sự thật chúng ta nên thấy rằng ⋃ f ( D ) = f ( ⋃ $D$$\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$$x_0 \subseteq z$$f(x_0)\subseteq f(z)$$b \in f(z)$ $\subseteq \bigcup f(D)$ , Không chỉ ⊆ .$\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$$\subseteq$

Bằng chứng về hàm ý khác thậm chí còn tồi tệ hơn vì vậy tôi không thể viết nó ở đây ... Bạn có thể giải thích cho tôi cách chứng minh có thể hoạt động không?

Định nghĩa về tính liên tục được sử dụng bởi giáo viên của bạn là cái đẹp hơn. Nó cho bạn biết khá cụ thể ý nghĩa của sự liên tục.

Giả sử . Điều đó có nghĩa là với tất cả thông tin của x , có thể là một tập hợp mã thông báo vô hạn (nguyên tử), hàm tạo ra một số phần tử có phần thông tin nguyên tử b . (Nó cũng có thể có thông tin khác, nhưng hiện tại chúng tôi không quan tâm đến điều đó.) Định nghĩa của giáo viên của bạn nói rằng không cần thiết phải xem tất cả thông tin vô hạn của x để tạo ra thông tin đầu ra b . Một số tập con hữu hạn của x là đủ để tạo ra nó.$b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$

(Cuốn sách "Lý thuyết tính toán, ngữ nghĩa và lập trình logic" của Melvin Lắp, Oxford, 1987, gọi tính gọn nhẹ của tính chất này và định nghĩa một hàm liên tục là đơn điệu và nhỏ gọn.)

Đây là bản chất của sự liên tục. Để có được một lượng thông tin hữu hạn về đầu ra của hàm, bạn chỉ cần một lượng thông tin hữu hạn về đầu vào. Đầu ra được tạo bởi hàm cho một đầu vào vô hạn có được bằng cách ghép các thông tin mà nó tạo ra cho tất cả các xấp xỉ hữu hạn của đầu vào vô hạn. Nói cách khác, bạn không nhận được bất kỳ bước nhảy kỳ diệu nào khi đi từ các xấp xỉ hữu hạn đến liên kết vô hạn của chúng. Bất cứ điều gì bạn nhận được ở vô cực, bạn nên có được ở một giai đoạn hữu hạn.

Phương trình chuẩn là khá để nhìn vào, nhưng nó không cho bạn biết tất cả các trực giác tôi đã giải thích ở trên. Tuy nhiên, về mặt toán học, nó tương đương với định nghĩa của giáo viên của bạn.$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

Để chứng minh rằng , nó là đủ để chứng minh rằng f ( x ) được bao gồm trong f ( ⋃ x ∈ D x ) , đối với mỗi x ∈ D . Nhưng điều đó sau trực tiếp từ đơn điệu của f vì x ⊆ ⋃ x ∈ D x . Vì vậy, đây là hướng "dễ dàng".$\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$$f(x)$$f(\bigcup_{x \in D} x)$$x \in D$$f$$x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$

Theo một hướng khác, chứng minh bởi giáo viên của bạn, là thú vị nhất: . Để thấy điều này, hãy sử dụng trực giác mà tôi đã đề cập ở trên. Bất kỳ mảnh nguyên tử thông tin b ở phía bên tay trái xuất phát từ một số xấp xỉ hữu hạn của đầu vào: x 0 ⊆ f i n ⋃ x ∈ D x . Nghĩa là, b ∈ f ( x 0 ) . Vì x $f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$$x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$$b \in f(x_0)$$x_0$là hữu hạn và nó được bao gồm trong tập hợp của tập hợp có hướng, phải có một cái gì đó trong tập được định hướng lớn hơn , có lẽ là chính x 0 . Gọi phần tử đó là z . Bằng cách đơn điệu, f ( x 0 ) ⊆ f ( z ) . Vậy, b ∈ f ( z ) . Kể từ z ∈ D , f ( z ) ⊆ ⋃ x ∈ D f ( x ) . Vì vậy, bây giờ $x_0$$x_0$$z$$f(x_0) \subseteq f(z)$$b \in f(z)$$z \in D$$f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$được nhìn thấy ở phía bên tay phải quá. QED.

Như bạn đã lưu ý, cho thấy rằng sự liên tục của giáo viên của bạn ngụ ý phương trình đẹp là một chút dễ dàng. Khó hơn một chút là chỉ ra rằng phương trình đẹp, mặc dù có vẻ như nó không nói nhiều, thực sự nói lên tất cả mọi thứ trong định nghĩa của giáo viên của bạn.

Nó xảy ra với tôi muộn màng, sau khi tôi viết phản hồi cuối cùng, rằng định nghĩa về tính liên tục của giáo viên mà tôi đang giải thích trong phản hồi của tôi là khái niệm tô pô về tính liên tục. Công thức đại số của tính liên tục thường được đề cập trong sách giáo khoa Khoa học Máy tính ẩn giấu tất cả các trực giác tô pô. (Trên thực tế, Dana Scott thường viết rằng anh ta đã cố tình tránh các công thức tôpô vì các nhà khoa học máy tính không quen thuộc với nó.)

Mối liên kết giữa các công thức đại số và tôpô được gọi là tính đối ngẫu của Stone , và ngày càng rõ ràng rằng chính mối liên kết này là vô cùng quan trọng đối với Khoa học Máy tính.

Để biết giải trình khái niệm về các kết nối này (và nhiều hơn nữa), hãy xem Thông tin, quy trình và trò chơi của Abramsky .