Kết quả về các ngôn ngữ được công nhận bởi các DFA không mong muốn

Đối với luận án Cử nhân của tôi, tôi xem xét lớp ngôn ngữ được công nhận bởi các DFA đối xứng, nghĩa là tự động hữu hạn xác định (hoàn chỉnh) thỏa mãn điều kiện sau:

Để cho $A$ là một DFA hoàn chỉnh trên bảng chữ cái $\Sigma$. Nếu, cho mọi$a\in \Sigma$ và mọi quá trình chuyển đổi $u \stackrel{a}{\longrightarrow}v$trong , có một chuyển tiếp trong , chúng tôi gọi là DFA đối xứng ( SDFA ). Nếu không hoàn thành, chúng tôi gọi nó là SDFA một phần . Chúng ta có thể coi SDFA là một đồ thị không có nhãn, không có nhãn hiệu theo cách tự nhiên.$A$$v \stackrel{a}{\longrightarrow}u$$A$$A$$A$

Tôi có thể tìm thấy một đặc tính đại số của lớp ngôn ngữ được công nhận bởi (hoàn thành cũng như một phần) SDFA và suy ra một số thuộc tính đóng. Tuy nhiên, cả tôi và người giám sát của tôi đều không biết về các kết quả trước đó liên quan đến loại ngôn ngữ thông thường cụ thể này (loại bỏ các kết quả như Reingold's có vẻ liên quan).$\mathsf{SL = L}$

Được thúc đẩy bởi một bình luận rằng J.-E. Pin chuyển qua một câu hỏi liên quan tôi đã hỏi , câu hỏi của tôi bây giờ là:

Có kết quả liên quan đến các automata?

Tôi chỉ có thể đưa ra một câu trả lời một phần. Để cho$\mathcal{S}$là lớp của tất cả các ngôn ngữ thông thường được công nhận bởi một SDFA hoàn chỉnh. Sau đó$\mathcal{S}$ là một lớp con của lớp $\mathcal{G}$của ngôn ngữ nhóm. Một nhóm ngôn ngữ là một ngôn ngữ mà monoid cú pháp là một nhóm hữu hạn, hoặc tương đương, được công nhận bởi một hữu hạn hoán vị automaton (mỗi chữ cái gây ra một hoán vị trên các thiết lập của các quốc gia). Bao gồm$\mathcal{S} \subset \mathcal{G}$là nghiêm ngặt. Tuy nhiên, kết quả sau đây cho thấy rằng$\mathcal{S}$ là một loại máy phát điện cho $\mathcal{G}$:

Đối với mọi ngôn ngữ nhóm $L \subseteq A^*$, có một bảng chữ cái $B$, một hình thái đơn hình $f: A^* \to B^*$ và một ngôn ngữ $K \subseteq B^*$ trong $\mathcal{S}$ như vậy mà $L = f^{-1}(K)$.

Bằng chứng . Để cho$\mathcal{A} = (\{1, ..., n\}, A, \cdot, 1, F)$ là một nhận dạng tự động hoán vị $L$. Đó là một thực tế nổi tiếng rằng nhóm của tất cả các hoán vị trên$\{1, ..., n\}$ được tạo bởi tập hợp $B$các chuyển vị của nó (một chuyển vị hoán vị hai trạng thái và sửa tất cả các trạng thái khác). Bằng cách xây dựng, máy tự động$\mathcal{B} = (\{1, ..., n\}, B, \cdot, 1, F)$ là một SDFA và do đó nhận ra một ngôn ngữ $K$ của $\mathcal{S}$. Bây giờ, cho mỗi chữ cái$a \in A$, có một từ $u_a \in B^*$ định nghĩa trong $\mathcal{B}$ hoán vị giống như $a$ trong $\mathcal{A}$. Để cho$f: A^* \to B^*$ là hình thái được định nghĩa bởi $f(a) = u_a$ cho mỗi chữ cái $a \in A$. Bây giờ nên rõ ràng rằng$f^{-1}(K) = L$.

Lớp $\mathcal{PS}$ của các ngôn ngữ được công nhận bởi một SDFA một phần dĩ nhiên lớn hơn $\mathcal{S}$, nhưng không làm cạn kiệt lớp của tất cả các ngôn ngữ thông thường. Trên thực tế, người ta có thể chỉ ra rằng nếu$L$ trong $\mathcal{PS}$, sau đó là cú pháp đơn điệu của $L$là một monoid nghịch đảo và đặc biệt, idempotents của nó đi lại. Thuộc tính thứ hai này được chia sẻ bởi lớp automata đảo ngược lớn hơn một chút . Xem

J.-É. Pin, Trên các ngôn ngữ được chấp nhận bởi automata có thể đảo ngược hữu hạn , trong ICALP lần thứ 14, Berlin, (1987), 237-249, LNCS 267 , Springer Verlag