Các câu đố ghép hình 'zero-one' có hoàn chỉnh NP không?

Tôi quan tâm đến một biến thể nhỏ của ốp lát, câu đố 'ghép hình': mỗi cạnh của ô (hình vuông) được gắn nhãn bằng một biểu tượng từ và hai ô có thể được đặt liền kề nhau nếu biểu tượng trên cạnh của một ô là và ký hiệu trên cạnh đối diện của ô kia là , đối với một số . Sau đó, được cung cấp một tập hợp các gạch , chúng có thể được đặt vào một hình vuông (xoay nhưng không lật các ô) với tất cả các cạnh khớp chính xác không? (Ngoài ra còn có một biến thể cho vấn đề này, trong đó bốn cạnh ' ' khung được cung cấp và các mảnh phải khớp chính xác vào khung đó).k ˉ k k ∈ { 1 ... n } m 2 m × m 1 × $\{1\ldots n, \bar{1}\ldots\bar{n}\}$$k$$\bar{k}$$k\in\{1\ldots n\}$$m^2$$m\times m$$1\times m$

Tôi biết vấn đề này là NP-đầy đủ cho đủ lớn , nhưng giới hạn mà tôi đã thấy trên dường như khá lớn; Tôi quan tâm đến vấn đề đối với các giá trị nhỏ của và đặc biệt là , trường hợp 'zero-one' (trong đó mọi cạnh được gắn nhãn hoặc và các cạnh có phải được khớp với các cạnh có ). Ở đây có (với đối xứng quay) chỉ có sáu loại gạch (ngói toàn bộ, gạch tất cả, gạch có ba số không và một, gạch có ba và không, và hai gạch riêng biệt có hai số không và hai cái, '0011' và '0101'), vì vậy một trường hợp vấn đề chỉ là một đặc điểm kỹ thuật của mn n n = 1 0 1 0 1 $n$$n$$n$$n=1$$0$$1$$0$$1$$m$và một bộ năm số $T_{0000}$ , $T_{0001}$ , $T_{0011}$ , $T_{0101}$ , $T_{0111}$ và $T_{1111}$ (đại diện cho số lượng của từng loại gạch) với $T_{0000}+T_{0001}+T_{0011}+T_{0101}+T_{0111}+T_{1111}=m^2$ . Vấn đề rõ ràng là ở NP (với $m$ được đưa ra đơn nhất) vì một giải pháp có thể được trình bày đơn giản và sau đó được kiểm tra trong đa thức (tính bằng $m$) thời gian, nhưng nó được biết là NP-đầy đủ, hoặc có một số thuật toán lập trình động có thể được áp dụng ở đây? Điều gì về trường hợp 'đóng khung' trong đó đặc tả vấn đề cũng bao gồm bốn cạnh của hình vuông sẽ được khớp? (Rõ ràng nếu trường hợp có khung là NP-hoàn thành thì trường hợp đóng khung gần như chắc chắn là tốt)

Vì bạn đã đề cập rằng bạn quan tâm đến việc giải quyết vấn đề này cho các giá trị nhỏ của , tôi sẽ đề nghị bạn thử thực hiện điều này trong một bộ giải SAT hoặc như một chương trình tuyến tính số nguyên (ILP). Một trong hai sẽ có thể mã hóa các ràng buộc, nhưng theo một cách hơi khác:$n$

• Đối với SAT, có một mã hóa rất rõ ràng về sự lựa chọn gạch nào đi vào từng ô vuông và mã hóa sạch hơn một chút về các ràng buộc liên quan đến số lượng của từng loại gạch (sử dụng số học bit).

• Đối với ILP, có một mã hóa rất rõ ràng về các ràng buộc liên quan đến số lượng từng loại gạch có sẵn và một mã hóa sạch hơn một chút về các ràng buộc mà các ô có thể nằm liền kề nhau (nhưng vẫn có thể rõ ràng, vì bạn có thể thể hiện các công thức boolean tùy ý trong ILP).

Tôi hy vọng rằng cho vừa và nhỏ có kích thước , phương pháp này có thể làm việc một cách hiệu quả.$n$