Độ phức tạp của việc quyết định nếu một công thức có đúng 1 phép gán thỏa mãn

Vấn đề quyết định

Đưa ra một công thức Boolean , có chính xác một nhiệm vụ thỏa mãn không?$\phi$$\phi$

có thể được nhìn thấy ở , và -hard. Có bất cứ điều gì được biết nhiều hơn về sự phức tạp của nó?$\Delta_2$$\mathsf{UP}$$\mathsf{coNP}$

Vấn đề của bạn được gọi là vấn đề , đó là . Vấn đề nằm ở nhưng không được biết đến là giảm thời gian đa thức xác định, trong đó lớp .U S D p D p D p = { L 1 ∩ ¯ L 2 | L 1 , L 2 ∈ N P$\text{UNIQUE-SAT}$$\mathsf{US}$$\mathsf{D^p}$$\mathsf{D^p}$$\mathsf{D^p} = \{ L_1 \cap \overline{L_2} \mid L_1,L_2 \in \mathsf{NP} \}$

Nó được chỉ ra bởi Papadimitriou và Yannakis [1] rằng tập hợp các công thức duy nhất thỏa đáng được chứa trong . Điều này tuân theo định nghĩa của : đặt là SAT và đặt là tập hợp các công thức có hoặc nhiều bài tập thỏa mãn. Về trễ của , Blass và Gurevich [2] đã đưa ra một câu trả lời. Đối với một người, họ đã cho thấy một kỹ thuật chứng minh không tương đối sẽ là cần thiết để giải quyết câu hỏi. Tuy nhiên, Valiant và Vazirani [3] đã giảm thời gian đa thức ngẫu nhiên từ hiển thị -hardness ofD p L 1 L 2 2 D p ĐỘC ĐÁO-SATSAT D p$\mathsf{D^p}$$\mathsf{D^p}$$L_1$$L_2$$2$$\mathsf{D^p}$$\text{UNIQUE-SAT}$$\text{SAT}$$\mathsf{D^p}$$\text{UNIQUE-SAT}$ trong việc giảm thời gian đa thức ngẫu nhiên.

Khi được biết rằng vấn đề có nhiều nhất một nhiệm vụ hoặc không có nhiệm vụ, vấn đề hứa hẹn được gọi là . Định lý ValiantTHER Vazirani nói rằng nếu có thuật toán thời gian đa thức cho , thì . Để chứng minh định lý của họ, họ đã chỉ ra rằng vấn đề hứa hẹn là giảm thời gian đa thức ngẫu nhiên. Một hệ quả xuất phát từ định lý Valiant Lúc Vazirani là đã hoàn thành cho trong việc giảm thời gian đa thức ngẫu nhiên.UNAMBIGUOUS-SAT N P = R P UNAMBIGUOUS-SAT N P UNIQUE-SAT D $\text{UNAMBIGUOUS-SAT}$$\text{UNAMBIGUOUS-SAT}$$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$$\text{UNAMBIGUOUS-SAT}$$\mathsf{NP}$$\text{UNIQUE-SAT}$$\mathsf{D^p}$

[1] Papadimitriou, Christos H. và Mihalis Yannakakis. "Sự phức tạp của các khía cạnh (và một số khía cạnh phức tạp)." Kỷ yếu của hội nghị chuyên đề ACM hàng năm lần thứ mười bốn về Lý thuyết điện toán. ACM, 1982.

[2] Blass, Andreas và Yuri Gurevich. "Về vấn đề thỏa mãn duy nhất." Thông tin và kiểm soát 55.1 (1982): 80-88.

[3] Valiant, Leslie G. và Vijay V. Vazirani. "NP dễ như phát hiện các giải pháp độc đáo." Khoa học máy tính lý thuyết 47 (1986): 85-93.