Bằng chứng về định lý của Ramsey: số lượng các nhóm hoặc các nhóm chống trong một biểu đồ

Định lý của Ramsey nói rằng mọi đồ thị với $n$ các nút chứa một cụm hoặc một tập độc lập với ít nhất $\frac{1}{2}\log_2 n$ điểm giao.

Tôi đã cố gắng tìm kiếm nó ở một vài nơi (bao gồm cả Sipser) nhưng tôi không thể hiểu được nhiều bằng chứng từ các bằng chứng. Tôi sẽ đánh giá cao nếu ai đó có thể cho tôi một bằng chứng (hoặc trực giác rõ ràng) về điều này.

Để cho $R(s,t)$ là số nguyên nhỏ nhất $k$ sao cho mọi đồ thị trên $k$ hoặc nhiều đỉnh chứa một $s$bộ kích thước độc lập hoặc độc lập $t.$

Hóa ra con số này được xác định rõ (gọi là số Ramsey ) và câu lệnh trong câu hỏi của bạn chỉ đơn thuần là để nói rằng

$$R(t,t) \leq 2^{2t}.$$

Một giới hạn trên nổi tiếng cho các quốc gia số Ramsey

$$R(s,t) \leq R(s,t-1)+R(s-1,t) \leq {s+t-2 \choose t-1} \; \; \; (1)$$ nếu $s = t$sau đó ở trên giảm xuống hệ số nhị thức trung tâm ${2t-2 \choose t-1}$ luôn luôn nhỏ hơn $2^{2t}$

Để chứng minh $(1)$ người ta có thể sử dụng cảm ứng trên $s+t$. Rời khỏi cơ sở cảm ứng$R(1,t), R(s,1)$ như một bài tập cho bạn, chúng ta hãy giả sử sự bất bình đẳng giữ cho tất cả $s+t < k$ và để $G$ là một biểu đồ với $R(s,t-1)+R(s-1,t)$ các đỉnh.

Để cho $v$ là một đỉnh tùy ý của $G$ và phân vùng các đỉnh còn lại của đồ thị thành hai nhóm $A,N$ - những người liền kề với $v$ và những cái không liền kề với $v.$ Bây giờ kể từ

$$|A|+|N|+1 = R(s,t-1)+R(s-1,t)$$ chúng ta có một trong hai $$|N| \geq R(s,t-1) \quad \mbox{ or} \quad |A| \geq R(s-1,t).$$ Bây giờ nếu bất đẳng thức đầu tiên được thỏa mãn thì biểu đồ gây ra bởi $N$ hoặc chứa một $s$-clique hoặc đồ thị gây ra bởi $N \cup \{v\}$ chứa một bộ kích thước độc lập $t.$ Đặc biệt điều này ngụ ý rằng trong trường hợp này $G$ hoặc chứa một $s$bộ kích thước độc lập hoặc độc lập $t.$Trường hợp thứ hai được xác minh tương tự và thiết lập phần đầu tiên của ràng buộc đã nêu. Đối với phần cuối cùng quan sát rằng $${s+t-3 \choose s-1} + {s+t-3 \choose s-2} = {s+t-2 \choose s-1}.$$