Lấy mẫu ngẫu nhiên trong một đa giác

Tôi muốn lấy mẫu một điểm ngẫu nhiên đồng đều trong một đa giác ...

Nếu lấy mẫu một số lượng lớn, họ sẽ có khả năng rơi vào hai khu vực như nhau nếu họ có cùng một khu vực.

Điều này sẽ khá đơn giản nếu nó là một hình vuông vì tôi sẽ lấy hai số ngẫu nhiên trong [0,1] làm tọa độ của mình.

Hình dạng tôi có là một đa giác thông thường, nhưng tôi muốn nó hoạt động cho bất kỳ đa giác nào.

/programming/3058150/how-to-find-a-random-point-in-a-quadrangle

1. Tam giác đa giác
2. Xác định trong đó các tam giác mà điểm nên nằm (trọng số các vùng tam giác)
3. Lấy mẫu điểm trong tam giác như được giải thích trong bài này

Một cách dễ dàng là tìm hộp giới hạn cho đa giác của bạn và sử dụng lấy mẫu từ chối: lấy mẫu từ hộp giới hạn và chấp nhận nếu nó nằm trong đa giác, điều này sẽ xảy ra với xác suất ít nhất là (tôi nghĩ).$1/2$

Một khả năng khác là để tam giác đa giác của bạn. Đầu tiên lấy mẫu một tam giác theo tỷ lệ, sau đó lấy mẫu một điểm ngẫu nhiên trong tam giác. Cách thứ hai rất đơn giản: lên đến các phép biến đổi affine, tất cả các tam giác đều có dạng . Để lấy mẫu thống nhất một điểm từ phân bố đó, trước tiên, mẫu theo mật độ (nghĩa là lấy mẫu đồng nhất và tính ) và sau đó lấy mẫu một cách đồng đều (nghĩa là lấy mẫu đồng phục và tính ). Một phương pháp thậm chí đơn giản hơn là lấy mẫu và nếu$\{(x,y) : x,y \geq 0, x+y \leq 1\}$$x \in [0,1]$$2(1-x)$$r \in [0,1]$ y∈[0,1-x$x = 1-\sqrt{1-r}$$y \in [0,1-x]$y = ( 1 - x ) s x , y ∈ [ 0 , 1 ] x + y > 1 ( x , y $s \in [0,1]$$y = (1-x)s$$x,y \in [0,1]$$x+y > 1$ thay thế bằng .$(x,y)$$(1-x,1-y)$

Điều này hơi điên rồ, nhưng sẽ hoạt động tốt ngay cả khi đa giác của bạn rất kỳ lạ.

Sử dụng định lý ánh xạ Reimann để tìm một bản đồ phù hợp từ đĩa đơn vị đến đa giác của bạn, xem nó như một tập hợp con của . Xem, ví dụ các tài liệu tham khảo trong:$\mathbb{C}$

http://siam.org/pdf/news/1297.pdf

Sau đó, sử dụng lực đẩy của mật độ đồng đều trên đĩa làm mật độ đề xuất trong lấy mẫu MCMC của Metropolis-Hastings .