Xuất phát phương trình Sobel từ đạo hàm

Nhiều trang web cung cấp cho các nhà khai thác Sobel như mặt nạ tích chập để làm mịn hình ảnh. Tuy nhiên, tôi chưa tìm thấy một trang web nào mô tả cách bạn có thể lấy được các toán tử từ các dẫn xuất đầu tiên một phần. Nếu bất cứ ai có thể giải thích đạo hàm, tôi sẽ đánh giá cao nó.

image-processing computer-vision

— Quan Tuyền Lưu
nguồn

Toán tử Sobel là một xấp xỉ của đạo hàm trong chiều X theo sau là toán tử làm mịn đơn giản trong chiều Y. (Hoặc đạo hàm trong chiều Y và sau đó được làm mịn trong X).

Xét tín hiệu một chiều . Đạo hàm của , có thể được viết là: $f(t)$ $f(t)$ $d f(t) / dt$

lim_{Δ \to 0} \frac{f (t + Δ) - f (t - Δ)}{2 Δ}

$\lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{f(t+\Delta) - f(t-\Delta)}{2\Delta}$

Đây được gọi là công thức khác biệt trung tâm .

Nhưng với một tín hiệu rời rạc nhỏ bạn có lúc xử lý của bạn là khoảng cách giữa mẫu, vì vậy bạn sử dụng như là một xấp xỉ của giới hạn. $\Delta$

Chúng ta có thể thấy mức độ gần đúng của nó (hoặc tốt) như thế nào bằng cách xem xét những gì nó làm với một tín hiệu hàm mũ phức tạp . Đạo hàm đúng sẽ cung cấp cho . Xấp xỉ cho $e^{\omega i t}$ $\omega i e^{\omega i t}$

\frac{e^{ω Tôi (t + 1)} - e^{ω Tôi (t - 1)}}{2} = = \frac{e^{ω Tôi} e^{ω Tôi t} - e^{- ω Tôi} e^{ω Tôi t}}{2} = = \frac{e^{ω Tôi} - e^{- ω Tôi}}{2} e^{ω Tôi t} = = Tôi tội (ω) e^{ω Tôi t}

$\frac{e^{\omega i (t+1)} - e^{\omega i (t-1)}}{2} = \frac{e^{\omega i}e^{\omega i t}-e^{-\omega i}e^{\omega i t}}{2} = \frac{e^{\omega i} - e^{-\omega i}}{2}e^{\omega i t} = i \sin(\omega)e^{\omega i t}$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

ω \to π

$\omega \rightarrow \pi$

Bây giờ chúng ta hãy làm một số làm mịn trong chiều Y. Chúng tôi muốn thứ gì đó chỉ sử dụng 3 điểm và về thứ tốt nhất bạn sẽ nhận được là . Bộ lọc này có đáp ứng tần số: $\frac{1}{4}f(t-\Delta) + \frac{1}{2}f(t) + \frac{1}{4}f(t+\Delta)$ giúp chuyển đổi trơn tru từ việc truyền tần số thấp sang tần số cao hoàn toàn suy giảm.

\frac{1}{4} e^{ω Tôi (t - Δ)} + \frac{1}{2} e^{ω Tôi t} + \frac{1}{4} e^{ω Tôi (t + Δ)} = = \frac{1}{2} (1 + \frac{e^{- ω Tôi Δ} + e^{ω Tôi Δ}}{2}) e^{ω Tôi t} = = \frac{1}{2} (1 + \cos ω) e^{ω Tôi t}

$\frac{1}{4}e^{\omega i (t - \Delta)} + \frac{1}{2}e^{\omega i t} + \frac{1}{4}e^{\omega i (t + \Delta)} = \frac{1}{2}(1 + \frac{e^{-\omega i \Delta}+e^{\omega i \Delta}}{2})e^{\omega i t} = \frac{1}{2}(1 + \cos \omega)e^{\omega i t}$

Vì vậy, kết hợp xấp xỉ đạo hàm trong chiều X với độ mượt hơn trong chiều Y và bạn nhận được kernel:

\frac{1}{số 8} [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] .

$\frac{1}{8} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right].$

— Logic lang thang
nguồn