Tầm quan trọng của các cạnh trọng lượng âm trong biểu đồ là gì?

Tôi đang làm bài tập lập trình động và tìm thấy thuật toán Floyd-Warshall. Rõ ràng nó tìm thấy các đường dẫn ngắn nhất của tất cả các cặp cho một biểu đồ có thể có các cạnh trọng số âm, nhưng không có chu kỳ âm.

Vì vậy, tôi tự hỏi ý nghĩa thế giới thực của các cạnh trọng lượng âm là gì? Một lời giải thích bằng tiếng Anh đơn giản sẽ hữu ích.

Saeed Amiri đã đưa ra một ví dụ tuyệt vời trong một nhận xét: trọng số trên các cạnh có thể đại diện cho bất cứ điều gì trong thế giới thực, ví dụ, số tiền được chuyển từ tài khoản này sang tài khoản khác. Các số tiền có thể là tích cực hoặc tiêu cực. Ví dụ: nếu bạn muốn đi từ đến b trong biểu đồ của mình trong khi mất càng ít tiền càng tốt (đường dẫn ngắn nhất), thì bạn có thể xem xét các trọng số âm. Để biết thêm, xem$a$$b$ chương sách này .

Ngoài ra, còn nhiều ứng dụng khác. Các trọng số âm phụ thuộc vào những gì bạn mô hình hóa nó. Ví dụ, hãy xem xét biểu đồ này

• Hóa học: Các trọng lượng có thể được sử dụng để biểu diễn nhiệt sinh ra trong phản ứng hóa học. (Chế độ: hợp chất, cạnh : nếu có thể thu được hợp chất v ("giảm hóa học") từ u . Trong biểu đồ này: bạn tạo ra 4 kJ để chuyển đổi s - a và 2 kJ để chuyển đổi a thành t . Bạn cần 5 kJ để lấy lại s từ t .$e_{uv}$$v$$u$$4$$s-a$$2$$a$$t$$5$$s$$t$

• Cuộc sống thực: Hãy nghĩ về một người lái xe, người được trả tiền để lái xe cho chủ nhân của anh ta từ đến t nhưng anh ta trả tiền giữa a và b (nói rằng đi du lịch giữa nhà và nơi làm việc của anh ta).$s$$t$$a$$b$

• Trò chơi: Giả sử bạn chơi trò cắt kéo giấy đá để kiếm tiền. Nút: đá, giấy, kéo. Edges: bất kỳ mối quan hệ (clique). Trọng lượng: cá cược. Trong biểu đồ này: (quên ), ở đây, là nhịp đập một , một nhịp đập t và t nhịp s , và thắng 4,2, -5 tương ứng.$b$$s$$a$$a$$t$$t$$s$

Tôi không phải là một người hóa học nhưng tôi vẫn nghĩ rằng ví dụ này sẽ có giá trị để giúp bạn nghĩ ra bộ xử lý, lý thuyết mạng và những thứ liên quan ..

Hãy xem xét một biểu đồ mô phỏng hành vi của một phân tử trong phản ứng hóa học, tức là đường đi của nó trong quá trình phản ứng và trọng lượng biểu thị năng lượng được hấp thụ hoặc giải phóng trong quá trình chuyển đổi, vì vậy nếu chúng ta muốn năng lượng thoát ra khỏi phản ứng, chúng ta biểu thị năng lượng được giải phóng với + trọng lượng và hấp thụ năng lượng với -ve.

Một cạnh âm chỉ đơn giản là một cạnh có trọng lượng âm. Nó có thể là trong bất kỳ bối cảnh nào liên quan đến biểu đồ và các cạnh của nó đề cập đến điều gì. Ví dụ, CD cạnh trong biểu đồ trên là cạnh âm. Floyd-Warshall hoạt động bằng cách giảm thiểu trọng lượng giữa mỗi cặp đồ thị, nếu có thể. Vì vậy, đối với trọng lượng âm, bạn có thể thực hiện phép tính như bạn đã làm đối với các cạnh trọng số dương.

Vấn đề phát sinh khi có một chu kỳ tiêu cực. Hãy nhìn vào biểu đồ trên. Và hãy tự hỏi mình câu hỏi - con đường ngắn nhất giữa A và E là gì? Ban đầu bạn có thể cảm thấy như thể ABCE của nó có giá 6 (2 + 1 + 3). Nhưng thực ra, nhìn sâu hơn, bạn sẽ quan sát thấy một chu kỳ tiêu cực, đó là BCD. Trọng lượng của BCD là 1 + (- 4) +2 = (-1). Trong khi di chuyển từ A đến E, tôi có thể tiếp tục đạp xe quanh BCD để giảm chi phí 1 lần mỗi lần. Giống như, đường dẫn A (BCD) BCE có giá 5 (2 + (- 1) + 1 + 3). Bây giờ lặp lại chu kỳ vô hạn sẽ tiếp tục giảm chi phí 1 lần mỗi lần. Tôi có thể đạt được một con đường ngắn nhất vô hạn tiêu cực giữa A và E.

Vấn đề là rõ ràng cho bất kỳ chu kỳ tiêu cực trong một biểu đồ. Do đó, bất cứ khi nào có chu kỳ âm, trọng lượng tối thiểu không được xác định hoặc là vô cực âm, do đó Floyd-Warshall không thể hoạt động trong trường hợp như vậy.

Ngoài ra, bạn có thể muốn xem Thuật toán Bellman-Ford để phát hiện xem biểu đồ có chu kỳ âm hay không và trả về đường đi ngắn nhất giữa hai nút.

Ví dụ, hãy tưởng tượng một mạng logistic trong đó trọng số w (i, j) của cạnh ij là chi phí để đi từ đỉnh i đến đỉnh j. Nếu bạn đã thỏa thuận kinh doanh với các công ty khác để vận chuyển sản phẩm của họ, w (i, j) sẽ là lợi nhuận thay vì chi phí, vì vậy bạn có thể hiểu trọng số này là chi phí âm.

Tắc nghẽn giao thông trên bản đồ:

Một ví dụ khác trong thế giới thực về việc liên kết các trọng số với một cạnh có thể là các trọng số thể hiện các điều kiện giao thông trong bản đồ (tiêu cực hơn, bất lợi hơn) - sau đó chúng ta có thể sử dụng biểu diễn này để tính khoảng cách tối ưu.

Chúng ta thực sự có thể sử dụng phép ẩn dụ "trọng số" để biểu thị bất cứ thứ gì có giá trị dương / âm giữa hai điểm bất kỳ trong biểu đồ