Đối với những loại ngôn ngữ là tối thiểu | NFA | = Ω (phút | DFA |)?

Hãy xem xét một ngôn ngữ thông thường $L$. Để cho$D(L)$ là một DFA tối thiểu cho $L$ và $N(L)$ là một NFA tối thiểu cho $L$(tối thiểu theo nghĩa số lượng trạng thái nhỏ nhất có thể có cho một máy tự động nhận dạng ngôn ngữ đã cho). Viết$|A|$ cho kích thước (số trạng thái) của máy tự động $A$. Nói chung,$|N(L)|$ có thể nhỏ hơn rất nhiều $|D(L)|$ (xuống $\lg |D(L)|$, vì xác định là số mũ trong trường hợp xấu nhất).

Tôi quan tâm đến các ngôn ngữ mà NFA tối thiểu được đảm bảo có ít nhất một phần kích thước của DFA:. Những gia đình của ngôn ngữ thông thường có tài sản này? Nói cách khác, đối với họ ngôn ngữ nào sao cho$|N(L)| \ge k |D(L)|$$(L_n)$$|D(L_n)| = n$ Là $|N(L_n)| = \Omega(n)$?

Có lẽ điều này quá tầm thường khi đề cập đến, nhưng dù sao tôi cũng sẽ đề cập đến nó: một loại ngôn ngữ xuất hiện trong tâm trí (mặc dù có thể có nhiều lớp ngôn ngữ thú vị hơn so với điều này thỏa mãn tính chất).

Hãy xem xét một gia đình ngôn ngữ $\{\{\epsilon\}, \{w\}, \{ww\}, ..., \{w^n\}, ...\}$ Ở đâu $w \in \Sigma^*$. Một NFA tối thiểu cho$n$ngôn ngữ sẽ có $n|w|+1$ trạng thái (giả sử không có trạng thái chết), trong khi DFA tối thiểu sẽ có $n|w|+2$trạng thái (giả sử một trạng thái chết duy nhất). Chúng tôi có điều đó$n|w|+1 = \Omega(n|w|+2)$.

Chúng tôi có một gia đình khác bằng cách cho phép mỗi ngôn ngữ chấp nhận tối đa $n|w|$; đây là gia đình$\{\{\epsilon, w, ww, ..., w^n\} \mid n \geq 0\}$. Máy tự động cho các ngôn ngữ này thực tế giống hệt với máy tự động tương ứng từ gia đình khác, ngoại trừ những ngôn ngữ này có nhiều trạng thái chấp nhận hơn.

Đây là những gia đình của ngôn ngữ hữu hạn. Tất nhiên chúng ta có thể có được một gia đình ngôn ngữ vô hạn như sau:$\{\{w^nw^*\} \mid n \geq 0\}$.

Xem xét bất kỳ họ ngôn ngữ bao gồm một từ duy nhất. Đối với bất kỳ ngôn ngữ như vậy, tỷ lệ của$|\min DFA|$ đến $|\min NFA|$ sẽ ít hơn $2$, vì vậy một gia đình ngôn ngữ phải đáp ứng tài sản. Vì có vô số chuỗi hữu hạn trên bất kỳ bảng chữ cái nào và vì chúng tôi đang xem xét bất kỳ tập hợp con nào có thể có, chúng tôi có được một số lượng lớn các họ ngôn ngữ theo cách này.

FWIW, để có được những ví dụ này, suy nghĩ của tôi là chúng tôi đang tìm kiếm các ngôn ngữ liên quan đến việc làm một cái gì đó mà NFA không thể làm tốt hơn DFA. Chấp nhận một số chuỗi ngẫu nhiên, và không có gì khác, là đáng chú ý về vấn đề này. Tôi đoán tổng quát hơn, có một khái niệm không chính thức về "sự thẳng thắn của DFA" dường như có liên quan đến những gì được hỏi.

Bạn biết đấy, khi nghĩ về nó, tôi nghĩ rằng chúng ta có thể khái quát điều này nhiều hơn một chút: bất kỳ họ ngôn ngữ nào với hình thức sau sẽ hoạt động: $L_n = \{s_0s_1...s_i\}L$ cho $n \geq 0$, Ở đâu $L$ là bất kỳ ngôn ngữ thông thường và $s_n$là bất kỳ chuỗi hữu hạn. Giả sử cho$L$ cái đó $|\min DFA| = x$ và $|\min NFA| = y$. Rồi gia đình$L_n$ nên luôn luôn có $|\min DFA| / |\min NFA| \leq x/y$.

Tôi không biết liệu điều này là thích hợp, thú vị hay hữu ích, nhưng tôi nghĩ nếu không có gì khác thì điều này có thể làm sống lại câu hỏi.