Bất kỳ vấn đề nào chỉ yêu cầu kiểm tra một lượng dữ liệu hữu hạn là có thể quyết định được, bởi vì có một thuật toán bao gồm liệt kê tất cả các giải pháp tiềm năng. Nó có thể chậm một cách lố bịch, nhưng điều đó không liên quan: nếu có một thuật toán, nó có thể quyết định được.
Vấn đề bạn nêu giả định một đồ thị hữu hạn, trong đó gợi ý mạnh mẽ rằng nó có thể quyết định được. Nói đúng ra, bạn cần nhìn xa hơn một chút. Vấn đề là một thuộc tính trên các đường dẫn trong biểu đồ và đôi khi có vô số đường dẫn, khi biểu đồ chứa một chu kỳ (bạn có thể lặp xung quanh chu trình này bao nhiêu lần tùy thích). Tuy nhiên, thật dễ dàng để biến vấn đề thành một vấn đề hữu hạn: nếu có bất kỳ đường dẫn nào bắt đầu bằng và kết thúc bằng v bao gồm một chu kỳ, thì bạn có thể cắt bỏ tất cả các chu trình trong đường dẫn đó và bạn có một giải pháp mới không bao gồm một chu kỳ. Vì có một số đường dẫn hữu hạn không liên quan đến một chu kỳ (nếu đồ thị có k cạnh, có nhiều nhất là k !uvkk!các đường dẫn không sử dụng cùng một cạnh nhiều lần), vấn đề tìm đường dẫn từ đến v là không chính xác, do đó có thể quyết định được.uv
Ngẫu nhiên, tài sản này được gọi là kết nối .
Cách tiếp cận này là một cách phổ biến, được gọi là giảm . Đưa ra một vấn đề không đơn giản, chúng tôi đã giảm nó thành một vấn đề mà chúng tôi biết cách giải quyết.
Thường rất khó để chứng minh rằng một vấn đề là không thể giải quyết được. Để chứng minh rằng một vấn đề là có thể quyết định, tất cả những gì chúng ta cần làm là trình bày một thuật toán quyết định nó. Để chứng minh rằng một vấn đề là không thể giải quyết được, chúng ta cần chứng minh rằng không có thuật toán nào có thể tồn tại. Có một vài vấn đề nổi tiếng không thể giải quyết được. Trong thực tế, hầu hết thời gian, khi chúng tôi chứng minh rằng một vấn đề là không thể giải quyết được, chúng tôi cho thấy rằng có một vấn đề nổi tiếng không thể giải quyết được làm giảm vấn đề của chúng tôi. Vì một thuật toán cho vấn đề của chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề nổi tiếng không thể giải quyết được, nên vấn đề của chúng tôi cũng không thể giải quyết được.
Bạn thực sự không thể nói rằng các vấn đề của hầu hết các vấn đề trên thế giới là có thể giải quyết được Trong một số ý nghĩa lý thuyết, hầu hết tất cả các vấn đề là không thể giải quyết được, nhưng chúng tôi có xu hướng mạnh mẽ để giải quyết các vấn đề thú vị của Keith, và những vấn đề đó có nhiều khả năng có một giải pháp.