Chứng minh Theta lớn về chức năng đa thức

Đây không phải là bài tập về nhà. Tôi có giải pháp nhưng đó không phải là điều tôi đang nhận được. Tôi biết có nhiều giải pháp cho vấn đề nhưng tôi muốn chắc chắn rằng tôi không thiếu thứ gì.

Câu hỏi như sau:

Chứng minh rằng 2 - 4n + 7 = Θ ( ). đưa ra các giá trị của hằng số và hiển thị công việc của bạn.$n^2$$n^2$

Đây là cách tôi tiếp cận vấn đề:

Từ định nghĩa của Θ (g (n)):

0 ≤ C ₁ 2 - 4n + 7 C ₂$n^2$$n^2$$n^2$

Chia bất đẳng thức cho số hạng n lớn nhất. (Đây là cách duy nhất tôi biết cách giải các phương trình này.)

0 ≤ C ₁ ≤ 2 - (4 / n - 7 / ) C ₂$n^2$

Chia vấn đề thành hai phần: LHS và RHS.

Chúng tôi bắt đầu với RHS:

Tìm hằng số C ₂ sẽ thỏa mãn

0 ≤ 2 - (4 / n - 7 / ) C ₂$n^2$

n = 1, (2 - (4/1 - 7/1 )) = 5$1^2$

n = 2, (2 - (4/2 - 7 /$2^2$)) = 7/4

n = 3, (2 - (4/3 - 7/9)) = 13/9

Chúng tôi chọn C ₂ là 2, n≥2 để đáp ứng RHS.

LHS: chúng tôi cố gắng tìm một hằng số sẽ thỏa mãn

0 ≤ C ₁ ≤ 2 - (4 / n - 7 /$n^2$)

Từ trên, chúng ta biết rằng sau n = 2, phương trình tiếp cận 2 khi n phát triển lớn hơn, vì vậy nếu chúng ta chọn một hằng số nhỏ hơn 2 thì nó sẽ thỏa mãn LHS.

Chúng tôi chọn C ₁ là 1. Với n, chọn 1 sẽ thỏa mãn phía bên tay trái, nhưng vì RHS cần n≥2, chúng tôi gắn bó với nó.

Vậy hằng số chứng minh 2$n^2$ - 4n + 7 = ($n^2$) Chúng tôi

C ₁ = 1, C ₂ = 2, n≥2

Giải pháp đã cho cho vấn đề này chọn n≥4, nhưng tôi không chắc tại sao. Có vẻ như n≥2 sẽ hoạt động tốt. Tôi có sai ở đâu không?

Nếu tôi không sai, nếu tôi chọn C ₁ thành 2, thì điều đó cũng sẽ thỏa mãn phía bên trái vì bất đẳng thức cho phép nó là ≤?

Giải pháp của bạn là tốt. Có nhiều cách để chứng minh thực tế này, tất cả đều hợp lệ / chính xác. Vì vậy, cách tiếp cận của bạn là hợp lệ và có thể giải pháp từ lớp của bạn cũng hợp lệ: đó không phải là một mâu thuẫn.

Tuy nhiên, để tôi cho bạn một lời khuyên để cấu trúc bằng chứng của bạn trong tương lai. Trong phần tranh luận bạn đã phác thảo trong câu hỏi, bạn đang "làm việc ngược": bạn bắt đầu từ câu bạn muốn là đúng (điều đó$c_1 n^2 \le 2 n^2 -4n + 7 \le c_2 n^2$), và sau đó bạn cố gắng rút ra những gì cần phải đúng $c_1,c_2$cho mong muốn của bạn để giữ đúng Kinh nghiệm đã chứng minh rằng loại lý luận đó dễ bị lỗi, mặc dù: thật dễ dàng để bạn mắc lỗi trên đường đi. Nó cũng khó để người khác kiểm tra.

Khi bạn viết lên bằng chứng của mình, tôi đề nghị bạn thực hiện lý luận theo hướng ngược lại. Bắt đầu từ những gì bạn biết là đúng, và sau đó rút ra ý nghĩa của điều đó, kết thúc bằng kết luận rằng$c_1 n^2 \le 2 n^2 -4n + 7 \le c_2 n^2$. Điều này phù hợp hơn với cách mọi người nghĩ và giúp người đọc dễ hiểu hơn những gì đang diễn ra. Và mục đích của một bằng chứng là truyền đạt ý tưởng cho người đọc, do đó, bằng chứng nên được cấu trúc để làm cho cuộc sống của người đọc dễ dàng hơn: giúp người đọc dễ dàng xác minh rằng lý lẽ của bằng chứng là đúng và hợp lệ. Nó giống như một cuốn sách hay; viết tốt được chọn để làm cho cuộc sống tốt cho người đọc. Bằng chứng là cùng một cách. Và cuối cùng, điều này cũng có lợi cho bạn: theo kinh nghiệm của tôi, nếu bạn làm theo phương pháp này, thì bạn sẽ ít có khả năng phạm sai lầm tinh vi trong bằng chứng của mình.

Vì vậy, một phác thảo bằng chứng tốt hơn sẽ cho thấy rằng $n^2 \le 2n^2 - 4n + 7$ giữ cho tất cả $n\ge 2$ (vì như vậy và như vậy), và cho thấy rằng $2n^2 - 4n + 7 \le 2n^2$ giữ cho tất cả $n\ge 2$ (vì blah-de-blah), và sau đó kết luận rằng $2n^2 - 4n + 7 \in \Theta(n^2)$. Tôi nhận ra loại bằng chứng này khó viết hơn, bởi vì bạn cần biết giá trị của$c_1,c_2$để sử dụng trước khi bạn có thể bắt đầu viết ra phong cách chứng minh này. Nhưng bạn biết gì không? Vậy là được rồi. Bạn có thể thực hiện một phép tính bên, trên giấy nháp, để tìm ra giá trị nào của$c_1,c_2$để sử dụng. Đừng chỉ cho chúng tôi tính toán bên đó; chỉ cần tìm ra giá trị của$c_1,c_2$ sẽ là những điều tốt để làm, và sau đó bắt đầu bằng chứng với bạn kéo $c_1=1,c_2=2$kỳ diệu ra khỏi không khí mỏng, và chứng minh rằng sự lựa chọn của bạn là hợp lệ. Phong cách chứng minh này sẽ tốt hơn cho bạn, và tốt hơn cho người đọc.