Đếm số tự động hữu hạn xác định

Tôi có một câu hỏi liên quan đến việc đếm DFA:

Đưa ra một Σ = {0, 1}chuỗi đầu vào, với tập trạng thái Q = {1...n}, làm thế nào tôi có thể tìm thấy tổng số DFA có thể được xây dựng?

Tôi tin rằng đây là một vấn đề tổ hợp, nhưng tôi không thực sự chắc chắn những gì tôi sẽ phải nhân lên.

Cảm ơn.

Đây thực sự là một vấn đề không cần thiết. Một giải pháp có thể được tìm thấy trong bài báo này: Bảng liệt kê và tạo ngẫu nhiên của Automata có thể truy cập .

Về cơ bản, đây là sản phẩm của tất cả các chuyển đổi có thể từ mỗi trạng thái bắt đầu có thể sang từng trạng thái chấp nhận có thể có. Trong ví dụ này, có n ^ (2n) khả năng chuyển tiếp. Trong đó có n trạng thái tổng, mỗi trạng thái có n chuyển tiếp có thể trên mỗi cạnh (ký hiệu đầu vào) cho chúng ta n ^ (2n). Chúng ta có n trạng thái bắt đầu có thể và 2 ^ n trạng thái chấp nhận (tập hợp sức mạnh của các trạng thái có thể.) Sản phẩm của cả ba trạng thái này cung cấp cho chúng ta: n ^ (2n) * n * 2 ^ (n).

TL; DR: $n \centerdot 2^n \centerdot n^{mn}$

Ở đâu $\mid Q\mid$ $=$ $n$ và $\mid \Sigma\mid$ $=$ $m$.

Chúng ta sẽ đi qua từng yếu tố của một DFA 5-tuple để tìm ra các kết hợp khác nhau mà mỗi kết quả sẽ tạo ra một DFA duy nhất. Bộ 5 bao gồm ($Q$, $\Sigma, \delta$, $s$, F)

$s$:

Bất kỳ 1 yếu tố nào của $Q$có thể là trạng thái bắt đầu. Như vậy có$\mid Q\mid$ = = $n$ cách chọn $s$.

F:

Bất kỳ số lượng phần tử nào của Q đều có thể được chấp nhận trạng thái, do đó tất cả các tập hợp con của Q là các lựa chọn hợp lệ cho F. Số lượng các tập hợp con có thể có cho một tập hợp số n là 2$^n$. Một cách khác để nói điều này là tính chính xác của$Q$'$s$ bộ điện $P(Q)$ là 2$^n$

$\delta$:

$\delta$ được định nghĩa là f: $Q$ x $\Sigma\rightarrow Q$ tức là $\delta$ tên miền của hàm là $Q$ x $\Sigma$ và phạm vi của nó là $Q$. Cardinality của tên miền là$mn$ Ở đâu $\mid Q\mid$ $=$ $n$ và $\mid \Sigma\mid$ $=$ $m$và phạm vi đó là $\mid Q\mid$ $=$ $n$. Như vậy có$n^{mn}$ cách chọn $\delta$.

$Q$ và $\Sigma$được tặng; chỉ có$1$ cách để chọn chúng.

Vì vậy, tổng số cách để lựa chọn trong số 5 yếu tố của DFA trong đó $\mid Q\mid$ $=$ $n$ và $\mid \Sigma\mid$ $=$ $m$ Là

$n \centerdot 2^n \centerdot n^{mn}$

Thà muộn 5 năm còn hơn không?