Sự phức tạp của việc tìm kiếm lớn nhất

Điều gì sau đây là thuật toán của tôi để làm điều này trong những gì tôi tin là $O(n)$thời gian, và bằng chứng của tôi cho điều đó. Giáo sư của tôi không đồng ý rằng nó chạy vào$O(n)$ và thay vào đó nghĩ rằng nó chạy trong $\Omega(n^2)$thời gian. Bất kỳ ý kiến ​​liên quan đến bản thân bằng chứng, hoặc phong cách (nghĩa là ý tưởng của tôi có thể rõ ràng nhưng bản trình bày thì không).

Câu hỏi ban đầu:

Được $n$ số, tìm số lớn nhất $m \leq n$ trong số họ trong thời gian $o(n \log n)$. Bạn không thể giả định bất cứ điều gì khác về$m$.

Câu trả lời của tôi:

1. Sắp xếp đầu tiên $m$các phần tử của mảng. Cái này mất$O(1)$ thời gian, vì điều này hoàn toàn phụ thuộc vào $m$, không phải $n$.
2. Lưu trữ chúng trong một danh sách liên kết (duy trì thứ tự sắp xếp). Điều này cũng mất$O(1)$ thời gian, với lý do tương tự như trên.
3. Đối với mọi phần tử khác trong mảng, kiểm tra xem nó có lớn hơn phần tử nhỏ nhất của danh sách được liên kết không. Cái này mất$O(n)$ thời gian như $n$ so sánh phải được thực hiện.
4. Nếu số thực tế lớn hơn, sau đó xóa phần tử đầu tiên của danh sách được liên kết (phần thấp nhất) và chèn số mới vào vị trí sẽ giữ danh sách theo thứ tự được sắp xếp. Cái này mất$O(1)$ thời gian bởi vì nó được giới hạn bởi một hằng số ($m$) ở trên như danh sách không phát triển.
5. Do đó, tổng độ phức tạp cho thuật toán là $O(n)$.

Tôi biết rằng việc sử dụng cây đỏ đen trái ngược với danh sách được liên kết sẽ hiệu quả hơn về mặt không đổi (vì giới hạn trên không đổi là $O(m\cdot \log_2(m))$ như trái ngược với $m$ và vấn đề giữ một con trỏ đến phần tử thấp nhất của cây (để tạo điều kiện so sánh) rõ ràng là có thể thực hiện được, nó chỉ không xảy ra với tôi vào thời điểm đó.

Bằng chứng của tôi bị mất là gì? Có cách trình bày chuẩn hơn (ngay cả khi nó không chính xác)?

Đây là một $O(n)$ thuật toán giải bài toán.

1. Sử dụng trong trường hợp xấu nhất $O(n)$ thuật toán lựa chọn để xác định$n-m+1$thống kê đơn hàng thứ. Để cho$k$ là số này, là số nhỏ nhất trong số $m$ số lượng lớn nhất chúng tôi đang cố gắng xác định.

2. Bây giờ phân vùng mảng xung quanh trục $k$sử dụng chức năng phân vùng QuickSort . Bước này có$O(n)$ quá.

3. Xuất ra $m$ số lớn nhất: chúng được đưa ra bởi $k$ và tất cả các số trong phân đoạn trên được tạo bởi phân vùng ở bước 2.

Thuật toán của bạn mất $\Theta(n + mn)$thời gian. Tôi nghi ngờ rằng giáo sư của bạn đang tìm kiếm một cái gì đó mất$O(n+ n\log m)$ thời gian, có thể là có thể, có thể bằng cách sử dụng một đống ...

Nguồn gốc của sự bất đồng của bạn với giáo sư là anh ấy hoặc cô ấy dường như không nghĩ $m$là một hằng số, mặc dù câu hỏi được diễn đạt như thế nào. Nếu không, thì$\Theta(m)$ tệ hơn rất nhiều so với $\Theta(\log m)$.

Đúng
Thiếu từ bài thuyết trình của bạn là bất biến vòng lặp để thiết lập tính đúng đắn: bạn duy trì mức lớn nhất$m$các yếu tố gặp phải cho đến nay trong một danh sách liên kết. Do đó, vào cuối thuật toán của bạn, bạn đã kiểm tra tất cả các yếu tố và vì vậy bạn có số lượng lớn nhất$m$các phần tử trong mảng. Thuật toán của bạn vẫn đúng, nhưng việc nêu rõ mục đích của danh sách được liên kết ở đầu mô tả làm cho tính chính xác của nó rõ ràng hơn.

Thời gian chạy
$log_{10}( 10 \mbox{ billion}) = 10$, (với cơ sở 2, khoảng ~ 33), đó là một con số nhỏ hơn 10 triệu. Trong ví dụ đã cho,$m$ lớn hơn nhiều lần $\log n$và vì vậy tôi không nghĩ bạn có thể cho rằng $m$ là hằng số.

Bạn nên cung cấp một thuật toán đó là $o(n \log n)$ miễn là $m = o(n)$. Thay thế danh sách liên kết và tìm kiếm tuyến tính của bạn bằng cây tìm kiếm nhị phân cân bằng hoặc heap tối thiểu sẽ đạt được thời gian chạy này:$O(m \log m + n \log m) = O(n \log m) = o(n \log n)$. (giả định$m = o(n)$, nếu không thì thời gian của bạn là $\Theta(n \log n)$)

Trong trường hợp bạn không quen thuộc với ký hiệu, trực giác đằng sau $o(n \log n)$ Là $< O(n \log n)$, nhưng xem câu hỏi tương ứng trên cs.SE để biết chi tiết về ký hiệu.