Làm thế nào để giảm số lượng các cạnh chéo trong một sơ đồ?

Tôi đang làm việc trên một trình soạn thảo sơ đồ. Sơ đồ hiển thị hình dạng 2D ( nút ) được kết nối với đầu nối ( cạnh ).

Tôi muốn thêm một thao tác, đưa ra một lựa chọn các nút, "gỡ rối" chúng: nó định vị lại chúng để giảm số cạnh, nếu có thể (và sẽ ổn nếu các cạnh sẽ được vẽ bằng các điểm uốn cong) .

Vì vậy, tôi muốn một thuật toán đồ thị, đưa ra một nhúng đồ thị ( cấu trúc liên kết ) và một tập hợp con của các nút của nó, sửa đổi việc nhúng ( cấu trúc liên kết của nó ) trên các nút đó để giảm thiểu số lượng các cạnh chéo.

Từ việc đọc về đồ thị đỉnh và duyệt Cabello và Mohar (2013) , tôi cho rằng vấn đề này là NP-hard. Vì vậy, tôi sẽ hài lòng với thuật toán tham số hóa (ví dụ về số cạnh chéo) có độ phức tạp thời gian đã biết, đa thức, cho bất kỳ giá trị tham số đã cho nào. Điều này có vẻ khả thi, nhưng tôi không thấy dễ dàng tự mình nghĩ ra một thuật toán như vậy.

Câu hỏi:

• Tôi tìm một thuật toán như vậy ở đâu?
• Nó tồn tại?
• Trong phần mềm hiện có?
• Có bất kỳ kinh nghiệm thực tế quan trọng với một hoạt động như vậy? (Những gì có vẻ tốt trong lý thuyết có thể không tốt trong thực tế, hoặc ngược lại.)

(Tôi không chắc chắn nơi tốt nhất để đặt câu hỏi này: ở đây, trên StackOverflow hoặc MathOverflow?)

Tính toán số lượng vượt tối thiểu tuyệt đối là, như bạn đã quan sát, . Quá trình vẽ các biểu đồ nên ít nhất là khó như vậy.$\text{NP-hard}$

Vấn đề đặt ra trong câu hỏi thực sự khó hơn và liên quan nhiều hơn những điều trên. Bạn đang xem xét các nút biểu đồ có kích thước và hình dạng nhất định đồng thời giới hạn kích thước (diện tích) của kết quả. Ngoài ra, một khái niệm chưa được xác định về thẩm mỹ là mong muốn. Rõ ràng chúng tôi muốn một heuristic cho điều này, không sử dụng mức tối thiểu tuyệt đối trong trường hợp chung. Số lượng các nút gặp phải trong một ứng dụng như vậy có thể không lớn trong trường hợp trung bình. Vẽ phiên bản cắt cạnh tối thiểu của biểu đồ có thể khả thi đối với kích thước nhỏ.

Tài nguyên:
Bạn có thể quan tâm đến các tài nguyên sau, đặc biệt với tài nguyên đầu tiên:

• Tài liệu về một tính năng của gói Graphviz trình bày một thuật toán tạo ra các biểu đồ có hướng nhìn đẹp mắt: http://www.graphviz.org/Documentation/TSE93.pdf
  Nó có nhiều tính năng khác có thể hữu ích. Mã nguồn được đặt trên trang web của họ theo EPL. Nó cũng bao gồm một trang dành cho lý thuyết đằng sau trực quan hóa đồ thị.
• Đối với thuật toán tham số cố định, hãy kiểm tra một bài báo của Martin Grohe:
  Tính toán các số giao nhau trong thời gian bậc hai
• Một cuộc nói chuyện về công nghệ được đưa ra bởi Amina Shabbeer tại RPI: Giữ gìn mối quan hệ gần gũi và tối thiểu hóa các giao thoa
  cạnh trong đồ thị nhúng
• Một ví dụ về thuật toán xác suất hiệu quả có thể được tìm thấy trong bài báo này của Julia Chuzhoy:
  Một thuật toán cho bài toán số biểu đồ chéo

Có rất nhiều tài nguyên khác, quá. Những điều này sẽ giúp bạn bắt đầu.

Những suy nghĩ và quan sát bổ sung:

Đây là một ý tưởng để giải quyết các vấn đề liên quan đến hình dạng và kích thước của các nút. Đưa ra biểu đồ (các nút nhỏ vô hạn), mở rộng từng nút trong khi "đẩy" hoặc uốn cong ra khỏi đường (ví dụ: sử dụng spline trong khi thực thi giới hạn về độ gần). Bạn cần phải làm điều này với các cạnh và nút khác cản trở nó, điều này có thể bắt đầu một phản ứng dây chuyền. Nhìn vào cách cân bằng có thể được tính toán một cách hiệu quả (ví dụ cấu trúc phân tử). Nếu bạn không thể có được hình dạng của một nút đến kích thước mong muốn, thì hãy chia tỷ lệ toàn bộ sơ đồ.

Một người dùng có thể tận hưởng kết quả của một thuật toán ngẫu nhiên. Họ có thể sử dụng tính năng của bạn nhiều lần cho đến khi họ có thứ họ thích. Tránh tính toán dư thừa trong trường hợp này (không cần phải tính lại một số chéo).