Làm thế nào để chứng minh định lý chương trình có cấu trúc?

Wikipedia :

Định lý chương trình có cấu trúc [...] nói rằng [...] mọi thuật toán có thể được biểu diễn chỉ bằng ba cấu trúc điều khiển. họ đang

• Thực hiện một chương trình con, và sau đó một chương trình con khác (trình tự)
• Thực hiện một trong hai chương trình con theo giá trị của biểu thức boolean (lựa chọn)
• Thực hiện một chương trình con cho đến khi một biểu thức boolean là đúng (lặp)

Định lý này được phát triển trong các bài báo sau:

• C. Böhm, "Trên một gia đình máy Turing và ngôn ngữ lập trình liên quan", ICC Bull., 3, 185 phản194, tháng 7 năm 1964.
• C. Böhm, G. Jacopini, "Sơ đồ dòng chảy, Máy Turing và ngôn ngữ chỉ với hai quy tắc hình thành", Comm. của ACM, 9 (5): 366 bóng371,1966.

Thật không may, cái đầu tiên thực tế không có sẵn, và cái thứ hai, ngoài việc hơi khó hiểu (ít nhất là đối với tôi), đề cập đến cái đầu tiên, vì vậy tôi có vấn đề để hiểu bằng chứng. Ai giúp tôi với? Có một bài báo hay cuốn sách hiện đại trình bày bằng chứng? Cảm ơn.

CẬP NHẬT

Nói chính xác, tôi muốn hiểu phần thứ hai của bài báo CACM (phần 3). Các tác giả viết trong phần 1 như sau:

Trong phần thứ hai của bài báo (của C. Böhm), ​​một số kết quả của bài báo trước được báo cáo [8] và kết quả của phần đầu tiên của bài báo này sau đó được sử dụng để chứng minh rằng mọi máy Turing đều có thể rút gọn hoặc trong một ý nghĩa xác định tương đương với, một chương trình được viết bằng ngôn ngữ thừa nhận là quy tắc hình thành chỉ thành phần và lặp lại.

Ở đây [8] đề cập đến bản tin ICC Bulletin không có sẵn. Dễ dàng thấy rằng trích dẫn ở trên của Wikipedia đề cập đến phần thứ hai của bài báo CACM này (máy Turing đóng vai trò là một định nghĩa chính xác của các thuật toán; "thành phần" có nghĩa là trình tự; phép lặp có thể thay thế một lựa chọn).

Định lý Böhm-Jacopini về cơ bản nói rằng một chương trình dựa trên 'goto' có chức năng tương đương với một chương trình bao gồm 'while' và 'if'.

Phác thảo bằng chứng dựa trên các ghi chú bài giảng sau :

Giả sử bạn có một chương trình bao gồm một chuỗi các câu lệnh $S_i$; tiền tố mỗi câu lệnh với một nhãn$S_i^{\prime} \gets L_i: S_i$và cập nhật các câu lệnh goto hiện có để trỏ đến đúng vị trí. Khai báo một biến vị trí,$l \gets 1$và bọc các câu lệnh có tiền tố trong một vòng lặp while sẽ tiếp tục cho đến khi đạt được câu lệnh cuối cùng, $\textbf{while} (l \neq M) \ \textbf{do} \ S^{\prime}$.

Áp dụng các quy tắc viết lại sau đây cho $S^{\prime}$:

• Quy tắc Goto: Thay thế $L_i \ \textbf{goto} \ L_j$ với $\textbf{if} \ (l = i) \ \textbf{then} \ l \gets j$
• Quy tắc if-goto: Thay thế $L_i : \textbf{if} \ \text{(cond)} \ \textbf{then} \ \textbf{goto} \ L_j$ với $\textbf{if} \ (l = i \land \text{(cond)}) \ \textbf{then} \ l \gets j \ \textbf{else} \ l \gets l + 1$
• Quy tắc khác: Thay thế $L_i : S_i$ với $\textbf{if} \ l = i \ \textbf{then} \ S_i, \quad l \gets l + 1$

Chương trình kết quả sau đó không có các câu lệnh goto cho thấy sự tương ứng giữa hai mô hình.

Một bằng chứng chính thức hơn được cung cấp trong tài liệu tham khảo thứ hai của bạn .

Cập nhật

Sau khi nghiên cứu bài viết chi tiết hơn, đây là cách giải thích của tôi:

Dựa trên các định nghĩa trong CACM, hãy $\mathcal{B}^{\prime} = \mathcal{D}(\alpha, \lbrace \lambda, R \rbrace)$ là lớp máy Turing được đại diện bởi ngôn ngữ $\mathcal{P}^{\prime}$bao gồm các sơ đồ dòng chảy. Để cho$\mathcal{B}^{\prime \prime} = \mathcal{E}(\alpha, \lbrace \lambda, R \rbrace)$ là lớp máy Turing được đại diện bởi ngôn ngữ $\mathcal{P}^{\prime \prime}$ bao gồm sự chuyển đổi được đề cập ở trên.

Theo CACM, tác giả muốn chứng minh rằng nếu một máy Turing tồn tại trong gia đình máy Turing được mô tả bởi $M \in \mathcal{B}^{\prime}$, sau đó tồn tại một máy Turing tương ứng trong họ máy Turing được mô tả bởi $M^{*} \in \mathcal{B}^{\prime \prime}$.

Phác thảo bằng chứng của tác giả: Ông làm điều này bằng cách rút ra từ mối quan hệ xuất phát $M \in \mathcal{B}^{\prime}$ và $M \in \mathcal{E}(\cdots)$ (định nghĩa (5)) và sau đó thiết lập mối quan hệ $M^{*} \in \mathcal{E}^{*}(\cdots)$. Đối với mỗi thành phần của$\mathcal{E}(\cdots)$ anh ta vẽ một bản đồ một-một với những $\mathcal{E}^*(\cdots)$. Do đó, bằng cách thiết lập cầu nối giữa$M$ và $M^{*}$ xuyên qua $\mathcal{E}(\cdots)$ tác giả chứng minh $M \in \mathcal{B}^{\prime} \implies M^{*} \in \mathcal{B}^{\prime\prime}$.