Độ phức tạp của việc kiểm tra xem phương trình tuyến tính có giải pháp dương hay không

Xét một hệ phương trình tuyến tính , trong đó là ma trận với các mục nhập hợp lý. Giả sử thứ hạng của là . Số phức là gì để kiểm tra xem nó có giải pháp sao cho tất cả các mục của đều lớn hơn 0 (cụ thể là là một vectơ dương) không? Tất nhiên, người ta có thể sử dụng loại bỏ Gauss, nhưng điều này dường như không phải là tối ưu.$Ax=0$$A$$n\times n$$A$$<n$$x$$x$$x$

Đầu tiên, điều này có thể được giải quyết bằng lập trình tuyến tính. Đặt , , , là các biến của bạn. Chương trình tuyến tính giải quyết câu hỏi của bạn là$x_1$$x_2$$\ldots$$x_n$

$\max t$
chịu sự điều chỉnh của , với , .
$t \leq x_i$$i=1 ... n$
$Ax = 0$

Nếu tối đa là 0, thì không có giải pháp tích cực. Nếu mức tối đa là (nghĩa là chương trình tuyến tính không bị ràng buộc ) thì có một giải pháp tích cực.$\infty$

Thứ hai, sử dụng các phép biến đổi tiêu chuẩn trên các chương trình tuyến tính, vấn đề khả thi cho một chương trình tuyến tính tùy ý với sự bất bình đẳng nghiêm ngặt có thể được giảm xuống thành vấn đề của bạn. Chúng tôi bắt đầu với vấn đề khả thi

Có tồn tại sao cho ?$x$
$A x < b$

Bây giờ chúng ta có thể thêm một biến mới vào phía bên phải của tất cả các phương trình này và bất đẳng thức để làm cho mọi thứ đồng nhất. Vì vậy, đối với phương trình ^thứ , bây giờ chúng ta có$x_{n+1}$$x_{n+1} > 0$$k$

$a_{k,1} x_1 + \ldots + a_{k,n} x_n - b_k x_{n+1} < 0$ .

Điều này đưa ra một vấn đề tương đương trên ma trận mới :$A'$

Có tồn tại sao cho không?$x$
$A'x < 0$

Tiếp theo, chúng ta có thể biến bất đẳng thức thành phương trình bằng cách thêm một số biến và yêu cầu . Các phương trình thứ trên lần lượt vấn đề mới vào$y_i$$y_i > 0$$k$

$a'_{k,1} x_1 + \ldots + a'_{k,n} x_n + a'_{k,n+1} x_{n+1} +y_k = 0$ .

Cuối cùng, chúng tôi muốn cho phép tất cả các biến là tích cực. Làm thế nào chúng ta làm điều này? Đối với mỗi biến bằng một dấu tùy ý, chúng ta thay bằng và yêu cầu , .$x_i$$x_i$$z_i - w_i$$z_i>0$$w_i > 0$

Vấn đề khả thi về cơ bản khó như một vấn đề lập trình tuyến tính tùy ý, do đó, nói chung sẽ không có cách nào dễ dàng hơn để giải quyết vấn đề của bạn hơn là sử dụng lập trình tuyến tính.