Làm thế nào để chứng minh rằng các ngôn ngữ nhạy cảm ngữ cảnh được đóng dưới giao lộ và bổ sung?

Đây là một câu hỏi từ kỳ thi của khóa học "Automata và Ngôn ngữ chính thức" của chúng tôi. Có một câu hỏi được yêu cầu chứng minh hoặc bác bỏ rằng mọi hoạt động "bổ sung tương đối" giữa hai ngôn ngữ nhạy cảm ngữ cảnh cũng sẽ tạo ra một ngôn ngữ nhạy cảm ngữ cảnh.

Từ các thuộc tính đóng cửa nhạy cảm bối cảnh Wikipedia và Princeton.edu . Tôi biết rằng những ngôn ngữ được đóng dưới giao lộ và bổ sung.

Tôi đã dành quá nhiều thời gian cho việc tìm kiếm bằng chứng chính thức của những tuyên bố đó. Ở đâu / Làm thế nào tôi có thể tìm thấy bằng chứng? Hay làm thế nào để chứng minh chúng một mình? Bất cứ ai có thể chỉ cho tôi một tài liệu tham khảo? Có ai có thể đăng bài ở đây bằng chứng không?

Thuộc tính đóng đầu tiên, đóng dưới giao lộ, là bằng chứng DIY nếu bạn chọn đúng mô hình cho các ngôn ngữ nhạy cảm theo ngữ cảnh. Bằng cách xác định chúng với sự trợ giúp của automata giới hạn tuyến tính, bạn có thể chạy hai trong số các automata này liên tục để kiểm tra (không xác định) để chấp nhận giao lộ.

Thứ hai, đóng cửa dưới sự bổ sung, là khó khăn! Nó từng là một vấn đề mở nổi tiếng cho đến khi được giải quyết độc lập bởi Immerman và Szelepcsényi. Đây là một bằng chứng khá đáng ngạc nhiên, làm thế nào để chứng minh sự bổ sung cho một máy tự động không phổ biến. Kỹ thuật này được gọi là đếm quy nạp và hoạt động cho các gia đình lớn hơn thuộc các lớp phức tạp: NSPACE ($s(n)$) = đồng NSPACE ($s(n)$), trong đó bối cảnh nhạy cảm bằng không gian không tuyến tính tuyến tính .