Giảm trực tiếp từ

Chúng ta biết rằng là trong N L bởi Immerman-Szelepcsényi lý lý và vì s t - c o n n đ c t i v i t y là N L - h a r d do đó s t - n $st\text{-}non\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL\text{-}hard}$ là nhiều không gian log có thể rút gọn thành s t - c o n n e c t i v i t y . Nhưng có giảm bớt trực tiếp / kết hợp mà không đi qua biểu đồ cấu hình của các máy Turing trong N L không?$st\text{-}non\text{-}connectivity$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$

$\mathsf{stConnectivity}$ (aka ):$stPATH$

Cho đồ thị có hướng $G$ và các đỉnh và t ,$s$$t$

Có một đường dẫn từ đỉnh đến đỉnh t không?$s$$t$

Làm rõ:

Bạn có thể giả sử một biểu đồ được đưa ra bởi ma trận kề của nó (tuy nhiên điều này không cần thiết vì các biểu diễn tiêu chuẩn của biểu đồ có thể chuyển đổi không gian log sang nhau.)

Có thể giải nén bằng chứng ness của s t - c o n n e c t i v i t y và chuyển nó vào bằng chứng để chứng minh không sử dụng định lý đó như một bổ đề . Tuy nhiên, đây vẫn là cùng một công trình xây dựng. Những gì tôi đang tìm kiếm không phải là điều này, tôi muốn giảm trực tiếp về mặt khái niệm. Hãy để tôi đưa ra một sự tương tự với trường hợp N P. Chúng ta có thể giảm N P - c o m p $\mathsf{NL\text{-}hard}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$ vấn đề với nhau bằng cách sử dụng thực tế là họ đang có trong do đó giảm đến S Một T và S Một T giảm đến vấn đề khác. Và chúng ta có thể giải nén và kết hợp hai mức giảm này để có được mức giảm trực tiếp. Tuy nhiên, thường có thể đưa ra một mức giảm đơn giản hơn nhiều về mặt khái niệm mà không trải qua bước trung gian này (bạn có thể loại bỏ việc đề cập đến nó, nhưng nó vẫn còn ở đó về mặt khái niệm). Ví dụ: để giảm H a m P a t h hoặc V e r t e x C o $\mathsf{NP}$$SAT$$SAT$$HamPath$ hoặc 3 - C o l o $VertexCover$ to S A T chúng ta không nói H a m P a t h nằm trong N P và do đó giảm xuống S A vì S A T là N P - h a r d . Chúng ta có thể đưa ra một công thức trực quan đơn giản, thỏa đáng nếu đồ thị có đường dẫn Hamilton. Một ví dụ khác, chúng tôi đã giảm bớt các vấn đề khác trong$3\text{-}Coloring$$SAT$$HamPath$$\mathsf{NP}$$SA$$SAT$$\mathsf{NP\text{-}hard}$ to s t - C o n n e c t i v i t y mà không dựa vào N L - c o m p l e t e ness của s t - C o n n e c t i v i t y , ví dụ: C y c l e , S t r o n $\mathsf{NL}$$st\text{-}Connectivity$$\mathsf{NL\text{-}complete}$$st\text{-}Connectivity$$Cycle$ , v.v., chúng liên quan đến sửa đổi trên biểu đồ đầu vào (và không tham khảo bất kỳ máy Turing nào đang giải quyết chúng).$StronglyConnected$

Tôi vẫn không thấy bất kỳ lý do tại sao điều này không thể được thực hiện cho cái này. Tôi đang tìm kiếm một giảm của loại này.

Đây có thể là trường hợp không thể thực hiện được và bất kỳ sự giảm nào về mặt khái niệm sẽ đi qua kết quả ness. Tuy nhiên tôi không thấy lý do tại sao nên như vậy, tại sao tình huống lại khác với trường hợp N P. Rõ ràng để đưa ra một câu trả lời tiêu cực cho câu hỏi của tôi, chúng ta sẽ cần phải chính thức hơn về việc khi nào một bằng chứng về mặt khái niệm$\mathsf{NL\text{-}hard}$$\mathsf{NP}$ một bằng chứng khác (đó là câu hỏi lý thuyết bằng chứng cho thấy AFAIK không giải quyết theo cách thỏa đáng). Tuy nhiên lưu ý rằng đối với một câu trả lời tích cực, người ta không cần một định nghĩa chính thức như vậy và tôi hy vọng đó là trường hợp. (Tôi sẽ suy nghĩ về cách chính thức hóa những gì tôi đang hỏi một cách trung thực khi tôi tìm thấy nhiều thời gian rảnh hơn. Về cơ bản tôi muốn giảm bớt sẽ có hiệu quả ngay cả khi chúng tôi không biết rằng vấn đề đã hoàn thành đối với )$\mathsf{NL}$

Using the proof of Immerman–Szelepcsényi theorem is fine, using $\mathsf{NL\text{-}complete}$ness of $stPATH$ and configuration graph of an $\mathsf{NL}$ machine is what I want to avoid.

It is possible, if messy, to convert the proof of the Immerman-Szelepcsényi theorem to the reduction you want. There is absolutely no need to use the NL-completeness of st-connectivity.

Cho một ví dụ , chúng ta xây dựng một đồ thị mới G ' = ( V ' , E ' ) , s ' , t ' . "Các đỉnh chính" của V ′ ghi lại các thông tin sau: khoảng cách hiện tại d từ s , số đỉnh của khoảng cách nhiều nhất là d - 1 , số đỉnh của khoảng cách d - $G=(V,E),s,t$$G'=(V',E'),s',t'$$V'$$d$$s$$d-1$$d-1$$d-1$$d$$d$$d-1$$d-1$$t$$s$ are dropped. For each vertex which we're testing at the current distance, we only move forward to the next vertex if we have accounted for all vertices of smaller distance. When moving from distance $d$ to distance $d+1$, we copy the requisite information. The starting vertex $s'$ accounts for the fact that $s$ is the only vertex of distance zero. The ending vertex $t'$ is pointed at by all vertices representing the fact that the process has finished up to (and including) distance $n-1$, where $n=|V|$.

As you can see, it will be quite messy to write everything in full and correctly, but definitely possible. No overt use of NL-completeness was made, in that we never use the configuration graph of any NL machine. That's not needed, since we have something better than the configuration graph - the input instance itself.