Dense mật độ biểu thức chính quy tạo ra

Đây là một phỏng đoán cho các biểu thức thông thường:

Đối với biểu thức thông thường , hãy để độ dài | R | là số ký hiệu trong đó, bỏ qua dấu ngoặc đơn và toán tử. Ví dụ:$R$$|R|$$|0 \cup 1| = |(0 \cup 1)^*| = 2$

Phỏng đoán: Nếu và chứa mọi chuỗi độ dàihoặc ít hơn, sau đó .L ( R ) | R | L ( R ) = Σ $|R| > 1$$L(R)$$|R|$$L(R) = \Sigma^*$

Đó là, nếu có chiều dài tối đa , thì thực sự tạo ra mọi thứ.R $L(R)$$R$$R$

Một số điều có thể có liên quan:

1. Chỉ một phần nhỏ của là cần thiết để tạo tất cả các chuỗi. Ví dụ trong hệ nhị phân, sẽ làm việc cho bất kỳ .R = ( 0 ∪ 1 ) * ∪ S $R$$R = (0 \cup 1)^* \cup S$$S$
2. Cần phải có một ngôi sao Kleene trong tại một số điểm. Nếu không, nó sẽ bỏ lỡ một số chuỗi kích thước nhỏ hơn.| R $R$$|R|$

Nó sẽ là tốt đẹp để xem một bằng chứng hoặc mẫu. Có một số trường hợp rõ ràng là sai mà tôi đã bỏ lỡ? Có ai nhìn thấy điều này (hoặc một cái gì đó tương tự) trước đây?

Phỏng đoán của bạn bị Keith Ellul, Bryan Krawetz, Jeffrey Shallit và Ming-wei Wang từ chối trong bài báo "Biểu hiện thường xuyên: Kết quả mới và vấn đề mở". Trong khi bài báo không có sẵn trên mạng, một cuộc nói chuyện là.

Trong bài báo, họ định nghĩa các biện pháp , Đó là số biểu tượng trong R , không kể ε hoặc ∅ . Tuy nhiên, ∅ thể được loại bỏ từ mọi biểu hiện không tạo ra tiếng trống, và các biểu hiện có thể được "dọn dẹp" để số lượng ε nó chứa tối đa là | a l p h ( R ) | (Bổ đề ở trang 10 của bài nói chuyện).$|\mathrm{alph}(R)|$$R$$\epsilon$$\emptyset$$\emptyset$$\epsilon$$|\mathrm{alph}(R)|$

Trong trang 51, cho mọi họ xây dựng một biểu hiện thường xuyên kích thước O ( n ) trên { 0 , 1 } mà tạo ra tất cả các chuỗi kích thước tối đa là Ω ( 2 n n ) , nhưng không tạo ra tất cả các chuỗi. Lưu ý rằng "kích thước" ở đây theo cả nghĩa của bạn và của họ, vì chúng tôi đang sử dụng ký hiệu big-O. Họ cũng đặt ra một câu hỏi mở để tìm ra sự phụ thuộc tốt nhất giữa hai tham số.$n \geq 3$$O(n)$$\{0,1\}$$\Omega(2^n n)$